Степень с рациональным показателем

Вам уже знакомы понятия степени числа с натуральным и целым показателями. Напомним, что степенью с натуральным показателем называется произведение . Здесь а – основание степени, – показатель степени, при  .

В свою очередь, степенью с отрицательным целым показателем называется , где ,  – натуральное число.

.

Однако в алгебре существует ещё и понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число. Итак, попытаемся записать  как некоторую степень числа а, то есть .

Мы знаем, что . Исходя из того, что мы представили , то получим, что . По свойству возведения степени в степень имеем . Откуда видим, что произведение . Следовательно, .

Тогда получаем, что . По свойству возведения корня n-й степени в степень получим, что .

Например,

.

Сделаем вывод: если   — натуральное число, причём  ,  — целое число и частное   является целым числом, то при  справедливо равенство .

Пусть , причём   — целое число. Отсюда . Тогда .

Если же частное    не является целым числом, то степень числа а, где , определяют так, чтобы выполнялась формула , то есть и в этом случае считают, что .

Таким образом, формула  справедлива для любого целого числа  и любого натурального числа  и положительного основания степени .   

Например,

.

Напомним, что рациональное число  – это число вида , где  – целое,  – натуральное число. Тогда по формуле  получаем .

Таким образом, степень определена для любого рационального показателя и любого положительного основания а.

Если рациональное число , то выражение  имеет смысл не только при положительном основании степени, но и при , причём . Поэтому считают, что при .

Пользуясь формулой , степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.

Запомните! Степенью числа с рациональным показателем , где  – целое число, а  – натуральное, причём , называется число .

Замечание: из определения степени с рациональным показателем сразу следует, что для любого  и любого рационального  число – положительно.

Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби. По основному свойству дроби частное   можно представить, как частное , где
 и – натуральные числа,  – целое число. Тогда при любом  справедливо равенство.

Что легко доказать применяя свойства корней.

Имеем.

Заметим, что при отрицательном основании степени рациональная степень числа а не определяется. Отрицательные числа нельзя возводить в рациональную степень, не являющуюся целым числом.

А теперь перейдём к основным свойствам степени и покажем, что все свойства степени с натуральным показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием.

А именно для любых рациональных чисел  и  и любых  и  верны равенства:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Для доказательства этих свойств нужно воспользоваться определением степени с рациональным показателем и свойствами корней.

Докажем первое свойство.

1. .

Итак, пусть , , где  и  – натуральные числа,  и   – целые числа.

Нам нужно доказать, что .

Приведём дроби к общему знаменателю , .

По определению степени с рациональным показателем имеем .

Аналогичным образом можно доказать и все остальные свойства степени с рациональным показателем.

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание. Найдите значения выражения .

Решение.

.