Напомним, что основным тригонометрическим тождеством называется равенство
.
Это равенство выполняется при любых значениях .
Из основного тригонометрического тождества можно выразить:
,
.
Знак перед корнем определяется знаком выражения в левой части.
, если
–
угол I или II четверти,
, если
–
угол III или IV четверти.
, если
– угол I или IV четверти,
, если
–
угол II или III четверти.
Следующее тождество выражает зависимость между тангенсом и котангенсом:
.
Оно справедливо при всех ,
кроме
,
.
Следующее равенство устанавливает связь между косинусом и тангенсом одного и того же угла:
.
При этом ,
.
И следующее равенство устанавливает связь между синусом и котангенсом:
.
Здесь ,
.
Далее напомним формулы приведения.
Данные формулы позволяют свести вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к вычислению их значений для острого угла.
Теперь вспомним формулы сложения.
Формула синуса суммы двух углов: .
Формула синуса разности двух углов: .
Формула косинуса суммы двух углов: .
Формула косинуса разности двух углов: .
Эти формулы справедливы для любых углов и
.
Формула тангенса суммы двух углов:
,
,
,
,
.
Формула тангенса разности двух углов:
,
,
,
,
.
Формула котангенса суммы двух углов:
,
,
,
,
.
Формула котангенса разности двух углов:
,
,
,
,
.
Напомним формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного угла:
;
;
,
,
,
;
,
,
.
Следующие формулы – формулы суммы и разности синусов:
,
.
И формулы суммы и разности косинусов:
,
.
Они
справедливы для любых углов и
.
Все приведённые выше формулы используются в преобразованиях тригонометрических выражений.
Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задание
первое. Вычислите ,
и
, если
и
.
Решение.
Задание второе. Упростите выражения:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Решение.
Задание третье. Вычислите, используя формулы приведения:
а) ; б)
; в)
; г)
.
Решение.
Задание четвёртое. Вычислите:
а) ; б)
; в)
; г)
.
Решение.
Задание пятое. Найдите значения выражений:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
Задание
шестое. Вычислите , если
и
.
Решение.
Задание седьмое. Найдите значения выражений:
а)
; б)
.
Решение.