Формулы тригонометрии

Напомним, что основным тригонометрическим тождеством называется равенство

.

Это равенство выполняется при любых значениях .

Из основного тригонометрического тождества можно выразить:

,

.

Знак перед корнем определяется знаком выражения в левой части.

, если  – угол I или II четверти,

, если  – угол III или IV четверти.

, если  – угол I или IV четверти,

, если  – угол II или III четверти.

Следующее тождество выражает зависимость между тангенсом и котангенсом:

.

Оно справедливо при всех , кроме , .

Следующее равенство устанавливает связь между косинусом и тангенсом одного и того же угла:

.

При этом , .

И следующее равенство устанавливает связь между синусом и котангенсом:

.

Здесь , .

Далее напомним формулы приведения.

Данные формулы позволяют свести вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к вычислению их значений для острого угла.

Теперь вспомним формулы сложения.

Формула синуса суммы двух углов: .

Формула синуса разности двух углов: .

Формула косинуса суммы двух углов: .

Формула косинуса разности двух углов: .

Эти формулы справедливы для любых углов  и .

Формула тангенса суммы двух углов:

, , , , .

Формула тангенса разности двух углов:

, , , , .

Формула котангенса суммы двух углов:

, , , , .

Формула котангенса разности двух углов:

, , , , .

Напомним формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного угла:

;

;

, , , ;

, , .

Следующие формулы – формулы суммы и разности синусов:

,

.

И формулы суммы и разности косинусов:

,

.

Они справедливы для любых углов  и .

Все приведённые выше формулы используются в преобразованиях тригонометрических выражений.

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задание первое. Вычислите ,  и , если  и .

Решение.

Задание второе. Упростите выражения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение.

Задание третье. Вычислите, используя формулы приведения:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

Задание четвёртое. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

Задание пятое. Найдите значения выражений:

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

Задание шестое. Вычислите , если  и .

Решение.

Задание седьмое. Найдите значения выражений:

а)  ; б) .

Решение.