Основы тригонометрии

Напомним, что градусом называют величину центрального угла, которому соответствует  часть окружности. Градусная мера угла – это положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в измеряемом угле.

Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.

 – формула перехода от радианной меры к градусной.

 рад – формула перехода от градусной меры к радианной.

Угол в  рад стягивает дугу длиной .

Также вспомним, что при повороте точки  на угол  рад, где , точка двигается по единичной окружности против часовой стрелки, проходит путь длиной  и оказывается в точке .

При повороте точки  на угол  рад, где , точка двигается по единичной окружности по часовой стрелке, проходит путь длиной  и оказывается в точке .

Поворот на  рад означает, что точка остаётся на месте. Угол поворота можно задавать как в радианах, так и в градусах.

Если угол  можно представить как , где  – целое число, то при повороте на угол  получаем ту же самую точку, что и при повороте на угол .

Вы знаете, что синусом угла  называется ордината точки  единичной окружности, полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол .

Косинусом угла  называется абсцисса точки  единичной окружности, полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол .

Тангенсом угла  называется отношение синуса угла  к его косинусу.

Котангенсом угла  называется отношение косинуса угла  к его синусу.

В этих определениях угол  может выражаться как в градусах, так и в радианах.

Важно помнить, что  и  определены для любого угла , а их значения заключены в промежутках от  до , так как координаты точек единичной окружности заключены в промежутках от  до .

 определён для любых углов, кроме , .

 определён для любых углов, кроме , .

Отметим, что синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа  называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла в  радиан.

Приведём таблицу часто встречающихся значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Также вспомним, что синус в первой и второй четвертях принимает положительные значения, а в третьей и четвёртой – отрицательные. Косинус принимает положительные значения в первой и четвёртой четвертях, отрицательные значения – во второй и третьей четвертях. Тангенс и котангенс принимают положительные значения в первой и третьей четвертях, а отрицательные значения – во второй и четвёртой четвертях.

Следующие формулы позволяют сводить вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов.

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задние первое. Переведите из радианной меры в градусную: а) ; б) .

Решение.

Задание второе. Переведите из градусной меры в радианную: а) ; б) .

Решение.

Задание третье. Вычислите радиус окружности, если её дуга  м содержит  рад.

Решение.

Задание четвёртое. Найти координаты точки, полученной поворотом точки  на угол: а) ; б) .

Решение.

Задание пятое. Найдите значения выражений:

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

Задание шестое. Определите знаки синуса, косинуса и тангенса углов:

а) ; б) ; в) .

Решение.