Напомним, что градусом называют величину
центрального угла, которому соответствует часть окружности.
Градусная мера угла – это положительное число, которое показывает,
сколько раз градус и его части укладываются в измеряемом угле.
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.
–
формула перехода от радианной меры к градусной.
рад
– формула перехода от градусной меры к радианной.
Угол
в рад стягивает
дугу длиной
.
Также
вспомним, что при повороте точки на угол
рад, где
, точка двигается
по единичной окружности против часовой стрелки, проходит путь длиной
и оказывается в
точке
.
При
повороте точки на угол
рад, где
, точка двигается
по единичной окружности по часовой стрелке, проходит путь длиной
и оказывается в
точке
.
Поворот
на рад означает, что
точка остаётся на месте. Угол поворота можно задавать как в радианах, так и в
градусах.
Если угол можно
представить как
, где
–
целое число, то при повороте на угол
получаем
ту же самую точку, что и при повороте на угол
.
Вы знаете, что синусом угла называется
ордината точки
единичной
окружности, полученной поворотом точки
вокруг
начала координат на угол
.
Косинусом угла называется
абсцисса точки
единичной
окружности, полученной поворотом точки
вокруг
начала координат на угол
.
Тангенсом угла называется
отношение синуса угла
к его
косинусу.
Котангенсом угла называется
отношение косинуса угла
к его
синусу.
В этих определениях угол может
выражаться как в градусах, так и в радианах.
Важно помнить, что и
определены
для любого угла
, а их
значения заключены в промежутках от
до
, так
как координаты точек единичной окружности заключены в промежутках от
до
.
определён
для любых углов, кроме
,
.
определён
для любых углов, кроме
,
.
Отметим,
что синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа называется число,
которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла в
радиан.
Приведём таблицу часто встречающихся значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Также вспомним, что синус в первой и второй четвертях принимает положительные значения, а в третьей и четвёртой – отрицательные. Косинус принимает положительные значения в первой и четвёртой четвертях, отрицательные значения – во второй и третьей четвертях. Тангенс и котангенс принимают положительные значения в первой и третьей четвертях, а отрицательные значения – во второй и четвёртой четвертях.
Следующие формулы позволяют сводить вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов.
Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задние
первое. Переведите из радианной меры в градусную: а) ; б)
.
Решение.
Задание
второе. Переведите из градусной меры в радианную: а) ; б)
.
Решение.
Задание
третье. Вычислите радиус окружности, если её дуга м содержит
рад.
Решение.
Задание
четвёртое. Найти координаты точки,
полученной поворотом точки на
угол: а)
; б)
.
Решение.
Задание пятое. Найдите значения выражений:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
Задание шестое. Определите знаки синуса, косинуса и тангенса углов:
а) ; б)
; в)
.
Решение.