Центральная симметрия

Сегодня на уроке мы вспомним понятия отображения плоскости на себя, движение плоскости, вспомним основные понятия центральной симметрии. Введём понятия отображения пространства и движение пространства, центральной симметрии в пространстве. Определим, будет ли центральная симметрия в пространстве – движением пространства.

Мы уже с вами знакомы с таким понятием, как движение. Давайте вспомним, что мы называли движением.

Движением мы называли любое отображение плоскости, которое сохраняет расстояние между точками.

Отображение плоскости на себя определяли так: если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причём любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, то говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Эти определения мы давали для движения на плоскости. Но в стереометрии мы говорим о пространстве, значит, надо определить, что называется движением пространства.

Но сначала давайте определим, что такое отображение пространства на себя.

Определение:

Пусть каждой точке  пространства поставлена в соответствие некоторая точка , причем любая точка пространства оказалась поставленной в соответствие какой-то точке . Тогда говорят, что задано отображение пространства на себя. При данном отображении точка  переходит (отображается) в точку .

Определение:

Под движением пространства понимается отображение пространства на себя, при котором любые две точки пространства  и  отображаются в какие-то точки  и  так, что .

По-другому можно сказать, что движение пространства – это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояние между точками.

Теперь давайте вспомним, какие фигуры обладают центральной симметрией.

Определение:

Фигура называется симметричной относительно точки , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки  также принадлежит этой фигуре. Точка называется центром симметрии фигуры.

Примерами центрально симметричных фигур можно назвать некоторые цветы:

В геометрии яркими примерами центрально симметричных фигур являются окружность (центр симметрии – центр окружности) и параллелограмм (центром симметрии является точка пересечения диагоналей).

Ещё мы давали такое определение:

Точки  и  называются симметричными относительно точки , если  – середина отрезка .

Точка  называется центром симметрии.

Точка  считается симметричной сама себе.

В курсе планиметрии мы доказывали, что центральная симметрия является движением.

Напомним это доказательство.

Рассмотрим точки М и N и точки М₁ и N ₁ симметричные точкам М и N относительно точки О.

Рассмотрим треугольники М NО и М₁ОN₁.

То есть при центральной симметрии сохраняется расстояние между точками. Тогда по определению движения, получим, что и центральная симметрия является движением.

Определение:

В пространстве центральной симметрией мы назовём отображение пространства на себя, при котором любая точка  переходит в симметричную ей точку  относительно данного центра .

Теперь давайте докажем, что и в пространстве центральная симметрия является движением.

Пусть О – центр симметрии. Введём прямоугольную систему координат Оxyz с началом в точке О. Теперь давайте попробуем установить связь между координатами двух точек М (x, y, z) и М₁(x₁, y₁, z₁), симметричных относительно точки О.

Если точка М не совпадает с точкой О, то по определению центральной симметрии О – середина отрезка ММ₁. Тогда координаты точки О можно вычислить по формулам координат середины отрезка. С другой стороны, поскольку О – начало координат, значит, точка О имеет координаты 0, 0, 0. То есть получим, что , , .

Если точки М и О совпадают, тогда точка М₁ также совпадает с точкой О, потому что точка О – центр симметрии, а, значит, она отображается сама на себя. И в этом случае будут выполнятся равенства, , .

Теперь давайте рассмотрим две точки  и .

По только что доказанным формулам для координат симметричных точек получим, что точка . Точка .

Теперь давайте найдём расстояние . Получим, что расстояние между точками ,  равно:

Теперь давайте найдём расстояние между точками  и .

Очевидно, что оба эти выражения равны, то есть получим, что .

Вывод: расстояние между точками при центральной симметрии в пространстве сохраняется, значит, центральная симметрия в пространстве также является движением, но уже не плоскости, а пространства.

Рассмотрим несколько задач.

Задача: найти координаты точек, в которые переходят точки , ,  при центральной симметрии относительно начала координат.

Решение: воспользуемся формулами для вычисления координат симметричных точек.

Если точка  симметрична точке  то справедливы формулы:

.

Тогда получим, что точка  отобразится в точку .

Точка  отобразится в точку .

Точка  отобразится в точку .

Решим ещё одну задачу.

Задача: доказать, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую.

Доказательство. Пусть прямая  не проходит через центр симметрии О. Построим точки симметричные точкам  и  относительно точки О.

Рассмотрим  и . По определению центральной симметрии точка О – середина отрезков АА₁ и ВВ₁, то есть  и .

Углы  как вертикальные, то есть треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Тогда получим, что . Эти углы являются накрестлежащими для прямых  и  при секущей . Тогда по признаку параллельности прямых получим, что прямые . Что и требовалось доказать.

Итоги:

Сегодня на уроке мы вспомнили понятия отображения плоскости на себя, движение плоскости, вспомнили основные понятия центральной симметрии. Ввели понятия отображения пространства и движение пространства, центральной симметрии в пространстве. Показали, что и в пространстве центральная симметрия будет примером движения.