Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Вы уже знакомы с понятиями угла между прямыми и угла между векторами. А также знаете, что такое двугранный угол и угол между прямой и плоскостью.

Сегодня мы научимся вычислять углы между прямыми, а также между прямой и плоскостью.

Но для начала введём понятие направляющего вектора.

Определение:

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой а, если он лежит либо на прямой а, либо на прямой, параллельной прямой а.

Понятно, что таких векторов бесконечно много и все они коллинеарны.

Задача: найти угол между прямыми, если известны координаты направляющих векторов этих прямых.

Будем работать с прямыми а и b. Для прямой a направляющим является вектор p, а для прямой b — вектор q.

Итак, возможны два случая.

Если угол  между направляющими векторами острый, то он равен углу между прямыми .

И если угол  между направляющими векторами тупой, то угол  между прямыми равен 180^о – .

Так как в первом случае косинус угла между прямыми равен косинусу угла между направляющими векторами, то мы можем вычислить его по известной формуле косинуса угла между векторами.

Ну, а во втором случае записан косинус угла смежного с углом . Косинусы смежных углов противоположны по знаку, поэтому мы получим выражение противоположное тому, которое было получено в первом случае.

Угол между прямыми всегда меньше либо равен 90^о, поэтому его косинус соответственно будет являться числом неотрицательным. Тогда оба случая можно объединить в один и записать, что косинус угла между прямыми равен частному модуля скалярного произведения направляющих векторов и произведения их длин.

А сейчас найдём угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора к прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.

Вам уже известно, что углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Обозначим этот угол за . А угол между направляющим вектором и вектором, перпендикулярным к плоскости обозначим за .

Эти углы в сумме дают 90^о (то есть углы  и  являются дополнительными). А нам известно, что синус угла равен косинусу дополнительного угла. Это означает, что .

Ну, а  между векторами  и  мы без труда найдём по уже известной формуле:

Но ведь возможен и случай, когда угол между векторами  и  тупой.

Тогда углы  и  являются дополнительными, то есть их сумма равна .

Отсюда можно записать, что .

Ну, а формула косинуса угла между векторами нам уже известна.

Чтобы объединить две полученных формулы в одну, можно вспомнить, что синус угла от нуля до 180^о  является числом неотрицательным. Тогда можно записать, что

Таким образом, мы получили формулы косинуса угла между прямыми и синуса угла между прямой и плоскостью. Причём правые части эти формул абсолютно совпадают.

Отличие лишь в том, что две прямые задают направляющие векторы.

А прямую и плоскость — направляющий вектор прямой и вектор, перпендикулярный к плоскости.

Такой вектор называют нормальным вектором к плоскости.

Решим несколько задач.

Задача:  прямоугольный параллелепипед, где . Найти  и .

Решение: ранее в таких случаях мы пытались по рисунку находить величины углов.

Но теперь мы владеем формулой косинуса угла между прямыми.

Только для этого необходимо знать координаты направляющих векторов прямых. В данном случае, для прямой  направляющим может является вектор , а для прямой
 — вектор .

Для удобства изобразим прямоугольную систему координат так, чтобы точка  совпадала с точкой начала координат. Взяв длину рёбер  и  за единичные отрезки, можно утверждать, что длина отрезка  равна 2.

Тогда не трудно определить координаты точек , ,  и .

Точка . Точка . Точка . А точка .

Теперь не трудно найти координаты векторов  и  как разности соответствующих координат конца и начала вектора.

Получаем, что вектор . А вектор .

Теперь можем воспользоваться формулой косинуса угла между прямыми. Подставим координаты направляющих векторов.

А теперь, пользуясь фрагментом из таблицы Брадиса, найдём величину данного угла, помня о том, что поправка для косинуса имеет знак минус:

Итак, угол между прямыми .

Теперь найдём угол между прямыми  и .

В качестве направляющих векторов для данных прямых удобно взять векторы  и .

Найдём координаты точек ,  и .

Точка А имеет координаты . Точка . А точка .

Тогда вектор . А вектор .

Подставим значения координат направляющих векторов в формулу косинуса угла между прямыми.

В ходе вычислений получаем

Вычислив примерное значение этой дроби, можем воспользоваться таблицей Брадиса:

Так получаем, что угол между прямыми .

Вот так по координатам направляющих векторов находят величину угла между прямыми.

Задача:  тетраэдр. . , а .

Вычислить синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер  и , и плоскостью: а) ; б) ; в) .

Решение: По условию рёбра ,  и  взаимно перпендикулярны. Поэтому можно изобразить прямоугольную систему координат так, чтобы точка  совпадала с точкой начала координат.

Тогда зная длины рёбер ,  и  не трудно отметить единичные отрезки и определить координаты всех вершин.

Мы с вами будем находить синус угла между прямой и каждой из данных плоскостей.

Сначала разберёмся с прямой. Она проходит через середины рёбер  и , пусть это будут точки  и . И для вычисления синуса угла нужно знать координаты направляющего вектора. В качестве направляющего вектора можно взять вектор .

Координаты точки  найдём как координаты середины отрезка . Каждая из них равна полусумме соответствующих координат точек  и . Так получаем,

, .

Аналогично найдём координаты точки , как полусумму соответствующих координат точек  и . Получаем , .

Теперь можем найти координаты вектора как разности соответствующих координат.

Получаем, что направляющий вектор данной прямой имеет координаты .

Также для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью необходимо знать координаты нормального вектора к плоскости, то есть перпендикулярного к ней.

Задача: Доказать, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен .

Решение: изобразим прямоугольную координатную плоскость так, чтобы координатные оси совпадали с рёбрами куба.

Обозначим буквами вершины куба, через которые проходят данные скрещивающиеся прямые. Найдём угол между прямыми .

Пусть длина единичных отрезков на осях равна длине ребра куба.

Тогда в такой системе координат нетрудно найти координаты точек О, О₁, О₂ и О₃.

А теперь найдём координаты векторов ОО₁ и О₂О₃, которые являются направляющими для данных прямых.

Вектор . А вектор .

Найдём косинус угла между данными прямыми, подставив в формулу координаты направляющих векторов.

В ходе вычислений получаем, что

А значит, угол между прямыми .

Что и требовалось доказать.

Итоги:

На этом уроке мы получили формулу вычисления косинуса угла между прямыми по координатам их направляющих векторов. А также формулу вычисления синуса угла между прямой и плоскостью по координатам направляющего вектора данной прямой и нормального вектора данной плоскости.