Осевая симметрия

Сегодня на уроке мы вспомним такое понятие как осевая симметрия на плоскости, введём понятие осевой симметрии в пространстве, проверим, будет ли осевая симметрия движением пространства.

Давайте вспомним, что фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой  также принадлежит этой фигуре. Прямая  называется осью симметрии фигуры. Про такую фигуру говорят, что она обладает осевой симметрией.

Давайте приведём примеры таких фигур из жизни и геометрии.

Ещё мы давали такое определение:

Точки  и  называются симметричными относительно прямой , если прямая  проходит через середину отрезка  и перпендикулярна к этому отрезку.

Прямая  называется осью симметрии.

Каждая точка прямой  считается симметричной самой себе.

В курсе планиметрии мы доказывали, что осевая симметрия является движением.

Напомним это доказательство.

Пусть точки М и N – какие-нибудь точки плоскости, а точки М₁, и N₁ – симметричные им точки относительно прямой А. Здесь может быть несколько вариантов расположения точек на плоскости.

Рассмотрим один из таких вариантов.

По построению симметричных точек относительно прямой А, прямая А перпендикулярна прямым ММ₁ и NN₁ и делит эти отрезки пополам, значит, в треугольниках МОМ₁ и NОN₁ отрезки ОК и ОЕ будут являться медианами и высотами, проведёнными к основанию, то есть это равнобедренные треугольники.

.

.

Заменив отрезок  равным ему отрезком , а отрезок  – равным ему отрезком , получим, что .

Вывод: таким образом, мы доказали, что расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М один и N₁.

Получаем, что осевая симметрия – пример движения плоскости.

В пространстве осевой симметрией с осью  мы назовем такое отображение пространства на себя, при котором любая точка  переходит в симметричную ей точку  относительно оси .

Теперь давайте проверим, будет ли осевая симметрия в пространстве движением пространства.

Для этого введём прямоугольную систему координат Оxyz так, чтобы ось Оz совпала с осью симметрии. Теперь давайте попробуем найти связь между координатами точки М с координатами x, y, z и точки М₁ с координатами x₁, y₁,z₁, симметричных относительно оси Оz.

Если точка М не лежит на оси Оz, то по определению оси симметрии, ось Оz проходит через середину отрезка ММ₁ и перпендикулярна к этому отрезку. Поскольку Оz – середина отрезка ММ₁, и абсциссы и ординаты точек оси Оz равны нулю, то можно записать, что  и .

То есть , .

Условие того, что ось Оz перпендикулярно прямой ММ₁ даёт нам, то что аппликаты точек М и М₁ равны .

Если же точка М лежит на оси Оz, то она отображается сама на себя, по определению оси симметрии, значит, и в этом случае будут выполнятся полученные равенства.

Вывод: для симметричный точек относительно оси Оz абсциссы и ординаты противоположны, а аппликаты равны.

Возникает вопрос, а если ось симметрии совпадает не с осью Оz, а, например, Оx или Оy. Тогда связь между координатами симметричных точек М и М₁ будет такая: если ось симметрии проходит через ось Оx, то точки М и М₁ имеют такие координаты , .

Если осью симметрии будет ось Оy, то точки М и М₁ имеют такие координаты , .

Теперь давайте рассмотрим любые две точки  и . По только что доказанным формулам для координат симметричных точек получим, что точка . Точка .

Теперь давайте найдём расстояние .

Получим, что .

Теперь давайте найдём расстояние между точками  и .

Очевидно, что оба эти выражения равны, то есть получим, что . То есть расстояние между точками при осевой симметрии в пространстве сохраняется, значит, осевая симметрия в пространстве также является движением, но уже не плоскости, а пространства.

Задача: найти координаты точек, в которые переходят точки , ,  при осевой симметрии относительно координатных осей.

Решение: сначала найдём координаты точек в которые переходит точки , ,  при осевой симметрии относительно оси Ох.

Если точка  симметрична точке  относительно оси  то справедливы формулы: .

Точка  отобразится в точку .

Точка  отобразится в точку .

Точка  отобразится в точку .

Если точка  симметрична точке  относительно оси  то справедливы формулы: .

Точка  отобразится в точку .

Точка  отобразится в точку .

Точка  отобразится в точку .

Если точка  симметрична точке  относительно оси  то справедливы формулы: .

Точка  отобразится в точку .

Точка  отобразится в точку .

Точка  отобразится в точку .

Итоги:

Сегодня на уроке мы ввели понятия осевой симметрии в пространстве. Показали, что и в пространстве осевая симметрия будет примером движения. Решили несколько задач.