Наименьшее общее кратное

Мы продолжаем работу с понятием «кратное».

Напомним, если натуральное числа а делится на натуральное число b, то число а называют кратным числа b.

Другими словами, число а кратно числу b – значит а делится на b.

Например

Вообще говоря, ряд чисел, кратных 10, бесконечен.

Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b.

Задача

Ирина мама решила положить дочке конфет в сумочку, причем так, чтобы Ира смогла поделиться с друзьями. Всего вместе с Ирой детей будет трое или четверо.

Какое наименьшее количество конфет может положить мама Ире, чтобы, всем досталось одинаковое количество целых конфет?

На математическом языке 12 – это наименьшее общее кратное 3 и 4.

В этой задаче мы нашли НОК перебором: выписывали в строчку кратные для каждого из чисел, пока не нашли кратное, одинаковое для обоих чисел.

Этот способ удобен только для маленьких чисел.

Есть и другой способ. Он используется в случаях, когда числа очень большие или их несколько.

Например

Найдём НОК чисел 410 и 861.

Для начала разложим эти числа на простые множители. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь быстро раскладывать на простые множители. Главное – помнить признаки делимости и иметь под рукой таблицу простых чисел.

Этот способ используют и чтобы найти НОК трёх чисел.

Например

Найдём наименьшее общее кратное чисел 6, 15, 42.

Есть и особые случаи нахождения наименьшего общего кратного.

Если одно из чисел делится нацело на другое, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.

Например

Взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, значит, их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

Например

Итоги

Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b.

Существует несколько способов нахождения наименьшего общего кратного. Можно найти НОК перебором: выписать в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдём кратное, одинаковое для обоих чисел.

Можно найти НОК, используя разложение чисел на простые множители.

Есть и особые случаи нахождения наименьшего общего кратного, например, для взаимно простых чисел.