Задачи на проценты

Вопросы занятия:

·  решить типичные задачи проценты.

Материал урока

Процент – это математическое понятие, с которым, в принципе, каждый человек сталкивается в своей жизни практически каждый день.

Люди кладут деньги в банк, и за это им начисляются проценты.

Люди берут кредиты в банках и обязаны выплачивать по ним проценты.

Зачастую в магазинах предлагают людям скидки на тот или иной товар.

Чтобы уметь просчитывать и выбирать наиболее выгодные для себя предложения, каждому человеку необходимо уметь решать задачи на проценты.

При решении задач на проценты важно помнить определение.

Определение.

Под одним процентом некоторой величины подразумевают одну сотую часть этой величины.

Вы помните, что проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому следует запомнить несколько простых равенств. Посмотрите на таблицу соотношений:

Видим, что 2% – это есть две сотые части или одна пятидесятая часть.

5% – это пять сотых частей или одна двадцатая часть.

10% – это одна десятая часть.

20% – это две десятые части или одна пятая.

25% – это двадцать пять сотых частей или одна четвертая часть.

50% – это пять десятых частей или половина от целого.

И так далее.

Очень важно уметь переводить дроби (десятичные и обыкновенные) в проценты и наоборот. Вспомним правила:

1. Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак процента.

2. Чтобы перевести обыкновенную дробь в проценты, нужно сначала перевести её в десятичную дробь, а потом умножить на 100 и добавить знак процента.

3. Чтобы проценты перевести в число, нужно убрать знак процента и разделить число на 100.

Теперь давайте разберёмся, как решать задачи на проценты.

Как правило, при решении задач на проценты некоторая величина а принимается за 100%, а её часть – величина b – принимается за x%. Затем составляют пропорцию:

Из этой пропорции определяют величину x, по правилу нахождения неизвестного члена пропорции по известным её трём членам.

Вспомним наиболее распространённые типы задач на проценты и методы их решения.

Первый тип – это нахождение процента от числа.

Чтобы узнать, чему равны p% от некоторого числа а, нужно:

Второй тип задач: нахождение числа по его проценту.

Для того чтобы найти число а, если его p% равны b, надо:

Третий тип задач: нахождение процентного отношения двух чисел (часть от целого числа).

Для того чтобы выразить в процентах частное двух чисел a и бэ, нужно:

И четвёртый тип задач на проценты: вычисление процентного выражения одного числа от другого.

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно:

При повторении темы «Проценты» мы с вами подробно рассматривали, как решаются такие задачи.

Ну а теперь давайте перейдём к решению задач на проценты, которые нельзя отнести ни к одному из перечисленных типов.

Первая задача.

Задача.

Сторону квадрата увеличили на 10%. На сколько процентов увеличится площадь квадрата?

Решение.

Сторона исходного квадрата была а.

После увеличения сторона квадрата стала а + 0,1а = 1,1а.

Площадь квадрата была а².

А стала (1,1а)² = 1,21а².

То есть стала больше на 1,21а² – а² = 0,21.

0,21 = 0,21 · 100% = 21%.

Ответ: 21%.

Вторая задача.

Задача.

Мальчиков в классе на 20% меньше, чем девочек, если число девочек принято за 100%. На сколько процентов девочек больше, чем мальчиков, если число мальчиков принять за 100%? Сколько процентов всего класса составляют девочки?

Решение.

Итак, сначала ответим на первый вопрос.

Пусть в классе x девочек.

Тогда мальчиков в классе:

Всего в классе:

Отношение числа девочек к числу мальчиков равно:

Теперь осталось ответить на второй вопрос.

Отношение числа девочек к числу всех учащихся в классе равно:

Запишем ответ: на 25 процентов девочек больше, чем мальчиков, если число мальчиков принять за 100%. И девочки в классе составляют:

Третья задача.

Задача.

Виноград содержит 75% воды, а полученный из него изюм содержит 20% воды. Сколько изюма получится из 320 кг винограда?

Поскольку в свежем винограде 75% воды, то его масса без воды составляет 100% – 75% = 25%, т.е.

320 · 0,25 = 80 (кг)

Поскольку в изюме 20% занимает вода, то эта же масса 80 кг без воды составляет 100% – 20% = 80%.

Таким образом:

Ответ: 100 кг.

Четвёртая задача.

Задача.

В парке 72 дерева – берёзы и клёны. Берёзы составляют 62,5% всех деревьев. Сколько берёз надо ещё посадить в парке, чтобы они составляли 70% всех деревьев?

Решение.

72 · 0,625 = 45 (берёз)

Пусть посадили ещё x берёз, и тогда берёзы составили 70% от числа всех деревьев.

Берёз стало всего (45 + x).

Поскольку 70% от числа всех деревьев равно (72 + x) · 0,7, то составим уравнение:

(72 + x) · 0,7 = 45 + x

50,4 + 0,7x = 45 + x

x – 0,7 = 50,4 – 45

0,3x = 5,4

x = 18.

Ответ: 18 берёз надо ещё посадить в парке, чтобы они составляли 70% всех деревьев.

Пятая задача.

Задача.

Петя взял в банке кредит 5000 рублей на год под 20%. Чтобы погасить полностью весь взятый кредит, вместе с процентами ровно через год, он должен вносить в банк ежемесячно одинаковую сумму денег. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Решение.

Для начала определим, сколько всего должен выплатить Петя.

Для этого к сумме 5000 прибавим 20% от 5000 рублей.

5000 + 1000 = 6000 (рублей)

Ну а теперь определим, сколько Пете нужно выплачивать в месяц.

6000 : 12 = 500 (рублей)

Ответ: 500 рублей он должен вносить в банк ежемесячно.

Шестая задача.

Задача.

В октябре цена на яблоки была снижена на 10% по отношению к цене в сентябре. В ноябре октябрьская цена повысилась на 10%. Сколько процентов составляет ноябрьская цена по отношению к сентябрьской?

Решение:

Пусть x – цена на яблоки в сентябре, тогда в октябре она стала на:

меньше, т.е. стала:

x – 0,1x = 0,9x

В ноябре цена была повышена на 10% и составила:

0,9x + 0,09x = 0,99x

0,99 = 0,99 · 100% = 99%

Ответ: 99%.

Итоги урока

На этом уроке мы продолжили повторять раздел «Текстовые задачи». И более подробно рассмотрели решение задач на проценты.