Четырехугольники. Площади четырехугольников

Вопросы занятия:

·  вывести формулы для вычисления площадей различных четырёхугольников.

Материал урока

Наряду с понятием длины, понятие площади является основным в геометрии.

Напомним, что за единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Т.е. площадь квадрата со стороной, равной одной единице измерения длины, равна одной квадратной единице. Если же сторона квадрата равна а единиц измерения длины, то его площадь равна а² квадратных единиц.

Понятно, что равные фигуры имеют равные площади.

Если же фигура составлена из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей составляющих её фигур.

Также напомним, что фигуры, имеющие равные площади, называют равновеликими.

А начнём мы повторение с площади прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна произведению его измерений, т.е. произведению длины и ширины.

Или ещё можно сказать, что площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон.

Давайте докажем это.

Пусть дан прямоугольник со сторонами  и  и площадью . Достроим его до квадрата со стороной .

Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то площадь построенного квадрата равна .

Но ведь, с другой стороны, площадь этого квадрата равна сумме площадей .

Так как равны левые части данных равенств, то можем приравнять и их правые части.

Преобразуем получившееся выражение. Приведём подобные слагаемые в правой части. Затем перенесём  в правую часть, а  в левую. Раскроем скобки в правой части, применив формулу квадрата суммы (при этом обратите внимание, что перед скобками стоит знак минус). Теперь приведём подобные слагаемые в правой части. Разделим обе части равенства на – 2. В результате получим,

То есть площадь прямоугольника со сторонами  и  равна произведению его соседних сторон.

Что и требовалось доказать.

Задача.

Стороны прямоугольника равны 72 метра и 8 метров. Определите сторону равновеликого ему квадрата.

Так как прямоугольник и квадрат равновелики, то их площади равны.

По формуле площади прямоугольника имеем, что площадь нашего прямоугольника равна

А значит, и площадь равновеликого ему квадрата также равна  (м²).

Пусть сторона квадрата равна х. Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то получим, что сторона данного квадрата равна

Следующей вспомним площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению длины стороны на высоту, проведённую к ней.

Докажем это утверждение. Пусть  – некоторый параллелограмм.  – высота . Докажем, что площадь параллелограмма равна .

Проведём к прямой, содержащей сторону , высоту . Тогда четырёхугольник  является прямоугольником. Докажем, что .

Рассмотрим прямоугольные треугольники  и . У них гипотенузы  как противолежащие стороны параллелограмма . А катеты , так как являются высотами проведёнными к одной стороне. Следовательно, треугольники  по гипотенузе и катету. Из равенства этих треугольников следует и равенство их площадей .

Так как трапеция  состоит из параллелограмма   и треугольника , то .

Также трапеция  является объединением треугольника  и прямоугольника . Следовательно, .

А так как , то .

Площадь прямоугольника  равна . Тогда и площадь параллелограмма  равна .

В параллелограмме  стороны  и  равны как противоположные. Значит, площадь параллелограмма  равна . То есть площадь параллелограмма равна произведению длины стороны на высоту, проведённую к ней.

Что и требовалось доказать.

Задача.

Высоты параллелограмма равны  см и  см, а угол между ними равен . Найдите площадь параллелограмма.

Пусть  см,  см, .

Напомним, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма. Тогда в параллелограмме  угол .

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, так как  высота по условию. По свойству катета лежащего против угла в 30^о, получаем, что  (см).

Так как в параллелограмме  стороны  как противоположные, то площадь параллелограмма равна

Перейдём к площади трапеции.

Площадь трапеции равна произведению половины суммы её оснований на высоту.

Докажем это утверждение. Пусть дана трапеция .  и  – основания, – высота .

Докажем, что площадь трапеции  равна .

Проведём диагональ . Она разбивает трапецию на два треугольника  и . Понятно, что площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников .

Напомним, что площадь треугольника равна . Тогда площадь треугольника  равна , а площадь треугольника  равна .

Площадь трапеции  равна сумме площадей этих треугольников.

А тогда имеем, площадь трапеции  равна . То есть площадь трапеции равна произведению половины суммы её оснований на высоту.

Что и требовалось доказать.

Задача.

В прямоугольной трапеции основания равны  см и  см, а большая боковая сторона –  см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция .  перпендикулярно , ,  и .

Проведём высоту . Получим прямоугольник . По свойству сторон прямоугольника имеем ,  см.

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, так как  высота по построению.  в по условию.  (см). Тогда по теореме Пифагора можем выразить сторону .

А тогда подставляя все известные данные в формулу площади трапеции, получим, что площадь нашей трапеции равна  (см²).

И последней вспомним площадь ромба.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Пусть дан ромб .  и  – его диагонали.

Докажем, что площадь ромба .

Проведём диагональ . Она разбивает ромб на два треугольника и . Понятно, что площадь ромба равна сумме площадей этих треугольников.

Напомним, что площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину высоту, проведённую к ней. Напомним, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Тогда площадь треугольника  , а площадь треугольника  равна .

Площадь ромба  равна сумме площадей этих треугольников.

Получаем, что площадь ромба  равна . То есть площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.

Задача.

Диагонали ромба относятся как . Найдите площадь ромба, если его периметр равен  см.

Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то .

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Напомним, что стороны ромба равны, а тогда сторона  (см) . Так как , то можем ввести следующие обозначения: .

По теореме Пифагора имеем

А тогда , .

А значит, диагонали ромба равны: , .

Подставим наши диагонали в формулу площади ромба. Посчитаем. И получим, что площадь нашего ромба равна

Итоги урока

На этом уроке мы говорили о «четырёхугольниках». А точнее вспомнили формулы для вычисления их площадей.