Параллельные прямые

Вопросы занятия:

·  вспомнить признаки параллельных прямых;

·  рассмотреть решения некоторых задач по теме «параллельные прямые».

Материал урока

Начнём с определения параллельных прямых.

Две прямые  и  называются параллельными, если они не пересекаются.

Обозначают это так .

Прямая  называется секущей в отношении прямых  и , если она пересекает каждую из них в разных точках.

При пересечении прямых  и  секущей  образуются  углов.

На экране каждый из углов обозначен соответствующей цифрой. Напомним, что некоторые пары этих углов носят специальные названия:

·         и ,  и  – называют внутренними накрест лежащими углами;

·         и ,  и  – внешние накрест лежащие углы;

·         и ,  и ,  и ,  и  – соответственные углы;

·         и ,  и  – внутренние односторонние углы;

·         и ,  и  – внешние односторонние углы.

А теперь давайте вспомним признаки параллельности прямых.

Первый признак параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых  и  секущей  накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Докажем признак. Допустим противное. Пусть при пересечении двух прямых  и  третьей  накрест лежащие углы , но прямые пересекаются в некоторой точке М.

Давайте отложим на прямой  отрезок , и соединим точки А и . Рассмотрим треугольники  и . У них стороны  по построению, сторона  – общая, а угол  по условию. Значит,  по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников  следует, что .

Так как углы  и  смежные, то их сумма равна 180^о. А тогда и сумма углов  и  тоже равна 180^о. Следовательно, точки ,  и  лежат на одной прямой. Но ведь этого быть не может. Значит, наше предположение неверно. Тогда прямые .

Что и требовалось доказать.

Второй признак параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых  и  секущей  соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении двух прямых  и  секущей  два соответственных угла, например, .

Углы , как вертикальные.

Из равенств углов ,  следует, что . Но ведь углы  и  накрест лежащие. А значит, по первому признаку параллельности прямых прямые .

Что и требовалось доказать.

Третий признак параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна , то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых  и  секущей  сумма односторонних углов равна 180^о. Например, угол .

Так как углы  и  смежные, то их сумма равна .

Из первого и второго равенств следует, что . В свою очередь углы  и  накрест лежащие, следовательно, по первому признаку параллельности прямых, прямые .

Что и требовалось доказать.

Кстати, верными будут и утверждения, обратные этим признакам. Их называют свойствами углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей.

Вспомним их:

если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна сто восемьдесят градусов.

И вспомним ещё четвёртый признак параллельности прямых.

Если две прямые  и  параллельны третьей прямой , то они параллельны между собой.

Доказательство. В самом деле, если бы прямые  и  пересекались в некоторой точке , то получилось бы, что через эту точку можно было бы провести две прямые  и , параллельные прямой , а это противоречило бы аксиоме параллельности прямых.

Что и требовалось доказать.

Верно следующее утверждение: если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Доказательство. Пусть , . Докажем, что .

Так как , то . При пересечении параллельных прямых  и  секущей  образуются равные соответственные углы. Значит, . Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

А теперь давайте рассмотрим решения некоторых задач по теме «параллельные прямые».

Задача.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образовано  углов. . Найдите остальные углы.

Так как прямые АВ и CD параллельны, то , как внешние накрест лежащие.

, как соответственные.

, как вертикальные углы.

, как внутренние накрест лежащие.

 по свойству смешных углов.

, как внешние накрест лежащие.

, как соответственные.

, как вертикальные.

Задача.

Высота треугольника делит угол, из вершины которого она опущена, на части, равные соответственно  и . Определите все углы этого треугольника.

Пусть высота выходит из вершины В треугольника . Т.е. . Тогда , . А значит, .

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, так как  высота. Т.е. имеем, ,  по условию. Напомню, сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰. А тогда несложно вычислить угол . Он равен .

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, так как  высота. Т.е. имеем, ,  градусов по условию. Найдем угол . Он равен .

Задача.

Докажите, что биссектриса одного из внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей отсекает на одной из параллельных прямых отрезок, равный отрезку секущей.

Доказательство. Пусть  и  – биссектриса . Докажем, что .

, так как  – биссектриса .

, как накрест лежащие при параллельных прямых.

Из этих равенств следует, что .

Значит, треугольник  – равнобедренный, по признаку равнобедренного треугольника. Следовательно, .

Т.е. мы получили, что биссектриса одного из внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей отсекает на одной из параллельных прямых отрезок, равный отрезку секущей.

Что и требовалось доказать.

Итоги урока

На этом уроке мы говорили о параллельных прямых. Вспомнили признаки параллельных прямых. А затем рассмотрели решения некоторых задач по теме «параллельные прямые».