Окружность. Вписанные и описанные окружности

Вопросы занятия:

·  рассмотреть вписанные и описанные окружности;

·  вспомнить частные случаи: описанную окружность около правильного многоугольника и вписанную окружность в правильный многоугольник.

Материал урока

Начнём с определения.

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

На экране вы видите четырёхугольник , треугольник  и четырёхугольник . Заметим, что четырёхугольник  и треугольник  описаны около окружности с центрами в точке О. Что нельзя сказать о четырёхугольнике . Он не является описанным около окружности с центром О, так как его сторона  не касается окружности.

Сформулируем и докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник.

В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть дан произвольный треугольник . Проведём биссектрисы его углов. Напомним, что все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку буквой О.

Обратите внимание, точка О равноудалена от сторон угла , так как принадлежит биссектрисе этого угла. Аналогично она равноудалена и от сторон углов  и . Т.е. точка О равноудалена от трёх сторон треугольника . Проведём из точки О перпендикуляры . Так как точка О равноудалена от сторон этого треугольника, то перпендикуляры . Значит, окружность с центром в точке О и радиусом равным , проходит через точки ,  и . Таким образом, окружность касается всех трёх сторон треугольника . Следовательно, она вписана в треугольник.

Теорема доказана.

Из данной теоремы вытекают следствия.

В треугольник можно вписать только одну окружность.

В отличие от треугольника не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность.

Если же в четырёхугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Докажем это утверждение. Рассмотрим четырёхугольник , описанный около окружности с центром О. Напомним, что отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Тогда касательные к окружности, выходящие из точки А равны. Аналогично, равны и касательные, выходящие из точек В, С и D. Обозначим равные отрезки касательных маленькими буквами а, b, c и d соответственно. Тогда, смотрите, сумма противоположных сторон четырёхугольника . Аналогично, и сумма сторон . Раз равны правые части равенств, то можем приравнять их левые части. Тогда видим, что . Следовательно, суммы противоположных сторон в описанном четырёхугольнике равны.

Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение: если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Задача.

В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной  см, вписана окружность с радиусом, равным  см. Найдите площадь трапеции.

Итак, пусть сторона  см. По свойству описанного четырёхугольника суммы его противоположных сторон равны . Тогда имеем, . Так как высота , то высота равна . Напомним, что площадь равнобокой трапеции равна . Подставим в формулу известные значения. Посчитаем и получим, что площадь нашей трапеции равна .

Теперь давайте перейдём к определению описанной окружности.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

На экране вы видите четырёхугольник , треугольник  и четырёхугольник . Заметим, что четырёхугольник  и треугольник  вписаны в окружность с центрами в точке О. Что нельзя сказать о четырёхугольнике . Он не является вписанным в окружность с центром О, так как его вершина  не лежит на окружности.

Сформулируем и докажем теорему об окружности, описанной около треугольника.

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство. Пусть дан произвольный треугольник . Проведём серединные перпендикуляры к его сторонам . Напомним, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Обозначим точку пересечения буквой О. И соединим точку О с вершинами треугольника. Получим отрезки . Так как точка О равноудалена от вершин треугольника , то отрезки . Значит, окружность с центром О и радиусом , проходит через все три вершины треугольника . Следовательно, она является описанной около этого треугольника.

Теорема доказана.

Из данной теоремы вытекают следствия.

Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

В отличие от треугольника около четырёхугольника не всегда можно описать окружность.

Если же около четырёхугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством.

В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180^о.

Докажем это свойство. Пусть есть окружность с центром в точке О и в неё вписан произвольный четырёхугольник . Нужно доказать, что . По теореме о вписанном угле – вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, имеем: угол , угол . Следовательно, сумма углов . В сумме эти дуги составляют окружность, т.е. имеют 360^о. Отсюда, . Значит, сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180^о.

Что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается, что и . Это можно доказать и другим путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360^о. Как мы уже доказали выше, сумма углов . Значит, на сумму двух других углов остаётся тоже 180^о, то есть

Верно и обратное утверждение.

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна ста восьмидесяти градусам, то около него можно описать окружность.

Задача. 

Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной  см, и высотой, равной  см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Итак, пусть  см, высота  см. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Так высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является и медианой, то прямая  – серединный перпендикуляр к .

, где О – центр описанной окружности. Тогда .

Рассмотрим прямоугольные треугольники  и . Они , так как имеют общий острый угол . Из подобия треугольников следует, что . Отсюда имеем, что . А тогда по свойству пропорции радиус равен .

А теперь давайте перейдём к частным случаям: описанной окружности около правильного многоугольника и вписанной окружности в правильный многоугольник.

Сформулируем и докажем теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство. Пусть  – правильный многоугольник. Проведём биссектрисы углов . Точка О – точка пересечения биссектрис углов . Рассмотрим треугольник . Так как , то угол , как половины равных углов. Следовательно, треугольник  –  равнобедренный. Значит, . Соединим точку О пересечения биссектрис с третьей вершиной многоугольника, с вершиной . Рассмотрим треугольники  и . У них стороны , так как  – правильный многоугольник по условию. Сторона  – общая и , так как  – биссектриса угла . Следовательно, треугольники  по двум сторонам и углу между ними. Отсюда вытекает, что . Продолжая соединять точку О с остальными вершинами многоугольника, получим множество равных равнобедренных треугольников. Следовательно, получим, что . Тогда полученная точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Значит, она центр описанной окружности. Поэтому окружность с центром в точке О и радиусом  один является описанной около многоугольника. Этим мы доказали первую часть теоремы, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Теперь докажем, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника. Например, вершины ,  и . Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника  можно описать только одну окружность. Этим мы доказали вторую часть теоремы о том, что описанная окружность около правильного многоугольника единственная, так как проходит через три точки (любые три вершины многоугольника) не лежащие на одной прямой.

Теорема доказана.

Задача.

Периметр правильного шестиугольника равен  см. Найдите его меньшую диагональ.

Итак, все стороны правильного шестиугольника равны . Тогда сторона нашего шестиугольника равна .

Напомним, что радиус описанной окружности для правильного шестиугольника равен его стороне . Заметим, что диагональ . Тогда . Так как угол, опирающийся на диаметр, - прямой, - то угол .

Мы знаем, что в любом прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы. Тогда в треугольнике  катет . Значит,  – меньшая диагональ нашего шестиугольника. По теореме Пифагора найдём её длину . Получаем, что меньшая диагональ .

А теперь сформулируем и докажем теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство. Пусть  – правильный многоугольник. Точка О – центр описанной около него окружности. При доказательстве теоремы об окружности, описанной около правильного многоугольника, мы установили, что треугольники  по двум сторонам и углу между ними. Отсюда, получили, что . Т.е. точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. А, значит, она является центром описанной окружности. Из равенства треугольников  вытекает, что высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также будут равны. Т.е. . Следовательно, точка О равноудалена и от сторон правильного многоугольника. Если провести окружность с центром О и радиусом равным , то все стороны многоугольника будут касаться окружности (по свойствам касательной к окружности) в этих точках. Значит, в данный многоугольник можно вписать окружность. Этим мы доказали первую часть теоремы, что в любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

Теперь докажем, что вписанная окружность только одна. Предположим, что в то же время с окружностью с центром О и радиусом  существует и другая окружность. Которая также вписана в наш правильный многоугольник . Тогда её центр  лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника. Следовательно, её центр совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника. Т.е. равен . А, значит, вторая окружность совпадает с первой. Этим мы доказали вторую часть теоремы о том, что вписанная окружность в правильный многоугольник единственная.

Теорема доказана.

Задача.

Периметр правильного четырёхугольника равен  см. Найдите площадь круга, вписанного в него.

Итак, правильный четырёхугольник  – квадрат, то есть . Его сторона равна . Диаметр КМ окружности, вписанной в квадрат, равен его стороне , т.е. . Радиус вписанной окружности равен половине диаметра , т.е. . Напомним, что площадь круга вычисляется по формуле: . А значит, площадь данного вписанного круга равна .

Итоги урока

На этом уроке мы говорили об окружности. А точнее более подробно рассмотрели вписанные и описанные окружности. А также вспомнили частные случаи: описанную окружность около правильного многоугольника и вписанную окружность в правильный многоугольник.