Окружность. Касательная к окружности. Вписанные и центральные углы

Вопросы занятия:

·  назвать элементы окружности;

·  поговорить о касательной к окружности;

·  вспомнить, какие углы называют вписанными и центральными.

Материал урока

Определение.

Окружность – это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной.

Чертить окружности вы научились ещё в младших классах. Давайте вспомним, как происходит этот процесс. Для того чтобы начертить окружность мы должны установить остриё циркуля в некоторой точке О. Затем, будем вращать ножку с карандашом. Карандаш начертит на плоскости листа линию, которая и называется окружностью. Точка, в которой устанавливалось острие циркуля, или точка О, называется центром окружности.

Вообще с окружностью связано 7 элементов: радиус, хорда, диаметр, дуга, круг, сектор и сегмент.

Определение.

Радиусом называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Радиус обозначают маленькой латинской буквой .

Все радиусы окружности равны между собой, т.к. длина любого радиуса – это расстояние между острием циркуля и кончиком карандаша.

Все точки окружности равноудалены от её центра, т.е. удалены от центра на расстояние, равное длине радиуса.

Теперь давайте соединим любые две точки на окружности, не проходящие через центр окружности, например,  и . У нас получился отрезок .

Определение.

Отрезок, концы которого лежат на окружности, называется хордой. Т.е. у нас хорда .

Хорда, проходящая через центр окружности, называется её диаметром.

Диаметр обозначают маленькой латинской буквой .

Запомните, диаметр окружности в 2 раза длиннее радиуса.

Все диаметры окружности равны между собой.

Отметим на окружности две точки, например,  и . Эти две точки разделили окружность на две части, каждую из которых называют дугой.

На нашем рисунке они изображены линиями разного цвета. Точки  и  называют концами дуг.

Окружность является замкнутой линией. Она разбивает плоскость на две части – внутреннюю и внешнюю.

Очень часто путают круг и окружность. Окружность – это линия (граница), а круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Хорда разбивает круг на две части, называемые сегментами. Напомним ещё, что сектором круга называется часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности, соединяющей концы этих радиусов.

Давайте вспомним, как могут располагаться окружность и прямая в зависимости от отношения расстояния от центра окружности до прямой и радиуса окружности.

Напомним, что если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки. Такая прямая называется секущей.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Рассмотрим более подробно случай, когда прямая и окружность имеют одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности. А общая точка окружности и прямой называется точкой касания прямой и окружности.

Давайте из центра окружности проведём радиус к точке касания. По рисунку можно предположить, что радиус, проведённый к точке касания будет перпендикулярен касательной.

Докажем это предположение.

Пусть прямая  – касательная к окружности с центром в точке О и точка А – точка касания.

Предположим, что касательная  не перпендикулярна радиусу ОА. Опустим из точки О перпендикуляр на прямую . Тогда радиус ОА – является наклонной к прямой . Поскольку перпендикуляр, проведённый из точки меньше любой наклонной, проведённой из этой же точки, то получаем, что расстояние от точки О до прямой  меньше радиуса . Но ведь тогда прямая и окружность будут пересекаться в двух точках. В таком случае прямая  является секущей. А по условию, она – касательная. Получили противоречие.

Этим мы доказали свойство касательной к окружности.

Сформулируем его: касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Задача.

Радиус  окружности с центром  делит хорду  пополам. Доказать, что касательная, проведенная через точку , параллельна хорде .

Итак, проведём радиусы ОА и ОВ. Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как стороны  – радиусы окружности. А мы знаем, что все радиусы окружности равны.

Поскольку ОК делит АВ пополам, то часть этого отрезка ОН будет являться медианой треугольника , а следовательно и высотой. То есть . По свойству касательной, касательная, проведённая в точке К будет . Таким образом, мы получили две прямые, перпендикулярные радиусу ОК. А по теореме: две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Значит, хорда .

Что и требовалось доказать.

Теперь давайте рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках В и С. Отрезки АВ и АС называются отрезками касательных, проведёнными из точки А.

Эти отрезки обладают следующим свойством:

отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Докажем это свойство.

Проведём радиусы ОВ и ОС. Рассмотрим два треугольника  и . По свойству касательных к окружности, , значит, эти треугольники прямоугольные. Гипотенуза АО – общая, катеты  как радиусы окружности, таким образом,  по двум катетам. Значит, равны , .

Что и требовалось доказать.

Задача.

Через концы хорды , равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке . Найдите .

Итак, проведём радиусы ОА и ОВ. Рассмотрим треугольник . Он является равносторонним. Так как . А тогда, .

Теперь рассмотрим треугольник . По свойствам отрезков касательных, проведённых из одной точки, . Значит, треугольник  равнобедренный.

По свойству касательной к окружности, . Тогда . По свойству углов равнобедренного треугольника, . По теореме о сумме углов треугольника имеем: .

Теперь, давайте сформулируем и докажем признак касательной.

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Доказательство. По условию теоремы, данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра окружности к данной прямой. А значит, он является расстоянием от центра окружности до прямой. То есть радиус окружности и расстояние до прямой равны, а, значит, окружность с прямой имеют одну общую точку. То есть, прямая является касательной к окружности.

Что и требовалось доказать.

Задача.

К окружности с радиусом  проведена касательная из точки , удаленной от центра на расстояние, равное . Найти длину отрезка касательной от точки  до точки касания.

Рассмотрим треугольник . По свойству касательной, . Значит, треугольник  – прямоугольный. По теореме Пифагора найдём длину отрезка . Получим, что он равен .

Рассмотрим окружность. Отметим на ней две точки А и В. Эти точки разделяют окружность на две дуги. Возникает вопрос, а как узнать про какую дугу говорить? Ведь и одна, и вторая дуги стягиваются хордой АВ.

Для их различия на этих дугах берут дополнительные точки. Напомним, что дуги обозначаются специальным знаком и тремя заглавными буквами.

На экране вы видите дуги:  и .

Иногда дуга может обозначаться и двумя буквами, но только в том случае, когда точно ясно о какой дуге идёт речь. Например, если дуга стягивается диаметром. Такая дуга носит особое название – полуокружность.

Определение.

Угол с вершиной в центре этой окружности называется центральным углом.

По рисунку видно, что центральный угол может быть любым: как меньше развёрнутого, так и больше развёрнутого.

Задание.

Указать центральные углы.

Итак, исходя из определения, центральными углами будут:  и .

А теперь поговорим о градусной мере дуги.

Пусть есть окружность с центром в точке О. Дуга  не больше полуокружности, дуга  больше полуокружности.

Определение.

Градусной мерой дуги  называется градусная мера соответствующего центрального угла .

Для дуги  градусной мерой считается разность: .

Две дуги вместе составляют целую окружность. А градусная мера окружности равна .

Теперь давайте поговорим о таком понятии, как вписанный угол.

Определение.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

На экране изображён вписанный угол , вершина В лежит на окружности. Дуга  находится внутри данного вписанного угла. Говорят, что  опирается на дугу .

Сформулируем теорему о вписанном угле.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Докажем это утверждение.

Итак, возможны три случая расположения центра окружности относительно вписанного угла: центр окружности находится на одной из сторон угла; центр окружности находится внутри вписанного угла; центр окружности находится вне вписанного угла.

Рассмотрим первый случай: пусть центр окружности находится на одной из сторон угла. Тогда луч ВО совпадает с одной из сторон .

В данном случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому её градусная мера равна . Он в свою очередь является внешним углом треугольника . По теореме о внешнем угле треугольника получаем, что .

Рассмотрев треугольник , не трудно заметить, что он равнобедренный, ведь две его стороны являются радиусами данной окружности, а значит, эти стороны равны. Тогда соответственно . И значит, можно записать, что .

Отсюда следует, что .

Рассмотрим второй случай: пусть центр окружности находится внутри угла. Тогда луч ВО находится внутри  и пересекает окружность в некоторой точке .

Рассмотрим в отдельности два полученных вписанных угла. Опираясь на доказательство, проведённое в первом из рассмотренных случаев, получаем, что , .

Сложив покомпонентно полученные равенства, получаем, что .

И рассмотрим последний случай: пусть центр окружности находится вне угла. Тогда луч ВО находится вне .

Опираясь на доказательство, проведённое в первом из рассмотренных случаев, получаем, что , а .

Записав разность полученных равенств, получаем, что .

Что и требовалось доказать.

Запишем следствия из данной теоремы.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

Ведь градусная мера полуокружности равна 180^о.

Вспомним ещё одну теорему.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство. Пусть хорды .

Нужно доказать, что .

Рассмотрим треугольники . Углы  как вертикальные. Углы , так как опираются на одну дугу. Значит, треугольники  по двум углам.

Имеет место равенство отношений соответствующих сторон . Отсюда получаем, что .

Что и требовалось доказать.

Задача.

Найти величину , если известно, что хорды  и  окружности пересекаются в точке . И градусная мера дуги  равна , а дуги  – .

Рассмотрим вписанный , то есть равен .

Вписанный угол . То есть угол .

Далее рассмотрим треугольник . Искомый угол  является внешним для этого треугольника. Значит, он равен сумме несмежных с ним углов . То есть равен .

И прежде чем мы закончим урок давайте повторим ещё несколько утверждений.

Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой.

Угол между двумя хордами (угол с вершиной внутри окружности) равен полусумме угловых величин дуг окружности, заключённых внутри данного угла и внутри вертикального угла.

Угол между двумя секущими (угол с вершиной вне окружности) равен полуразности угловых величин дуг окружности, заключённых внутри угла.

Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной  равен произведению  всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

Итоги урока

На этом уроке мы говорили об окружности. Назвали элементы окружности. Поговорили о касательной к окружности. А также вспомнили, какие углы называют вписанными и центральными.