Вычисления и преобразования выражений

Напомним, что модулем числа называется само это число, если оно неотрицательно,

и противоположное ему число, если оно отрицательно.

Выделим несколько основных свойств модуля, полезных при решении различных алгебраических и геометрических заданий:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

При извлечении арифметического корня натуральной степени необходимо обращать внимание не только на область допустимых значений выражения (нельзя извлекать корни чётной степени из отрицательных чисел), но и на результат.

Так, например, , , .

Также при преобразовании выражений полезно знать и использовать основные свойства арифметических корней.

При условии, что , , а ,  и  – натуральные числа, причём , , справедливы равенства:

1. . (число  может также быть равным )

2. .

3. . (число  может быть любым целым, если )

4. .

5. .

6. .

Используя формулу связи между арифметическим корнем и степенью с рациональным показателем для :  , можно переходить от вычислений с корнями к более удобным вычислениям со степенями, в которых действия опираются на следующие свойства степеней положительных чисел:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

Эти равенства справедливы для любых действительных чисел ,  и для любых .

Также при преобразовании выражений полезно знать и использовать следующие формулы сокращённого умножения:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

В последней формуле нужно обратить внимание на правую скобку: степени  с каждым шагом на единицу уменьшаются, а степени  – увеличиваются.

При преобразовании выражений конечно же следует не забывать о порядке выполнения действий: при выполнении действий в выражении без скобок сначала выполняют действия большей ступени. Если в нём все действия одной ступени, то их выполняют в том порядке, в котором они записаны, то есть слева направо. Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют все действия внутри скобок, начиная с большей ступени.

Действия I ступени – сложение и вычитание.

Действия II ступени – умножение и деление.

Действия III ступени – возведение в степень.

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задание первое. Найдите численное значение выражения

.

Решение.

Задание второе. Найдите значение выражения , если .

Решение.

Задание третье. Найдите значение выражения .

Решение.

Задание четвёртое. Найдите значение выражения , если .

Решение.

Задание пятое. Найдите численное значение выражения

.

Решение.

Следует отметить, что наше первоначальное выражение имеет смысл только при ,  и .

Задание шестое. Выражение  является целым числом. Найдите это целое число.

Решение.