Напомним, что модулем числа называется само это число, если оно неотрицательно,
и противоположное ему число, если оно отрицательно.
Выделим несколько основных свойств модуля, полезных при решении различных алгебраических и геометрических заданий:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
При извлечении арифметического корня натуральной степени необходимо обращать внимание не только на область допустимых значений выражения (нельзя извлекать корни чётной степени из отрицательных чисел), но и на результат.
Так,
например, ,
,
.
Также при преобразовании выражений полезно знать и использовать основные свойства арифметических корней.
При
условии, что ,
,
а
,
и
–
натуральные числа, причём
,
,
справедливы равенства:
1.
.
(число
может
также быть равным
)
2.
.
3.
.
(число
может
быть любым целым, если
)
4.
.
5.
.
6.
.
Используя
формулу связи между арифметическим корнем и степенью с рациональным показателем
для :
,
можно переходить от вычислений с корнями к более удобным вычислениям со
степенями, в которых действия опираются на следующие свойства степеней
положительных чисел:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
Эти
равенства справедливы для любых действительных чисел ,
и
для любых
.
Также при преобразовании выражений полезно знать и использовать следующие формулы сокращённого умножения:
1.
.
2.
.
3. .
4. .
5.
.
6.
.
7.
.
8. .
9. .
В
последней формуле нужно обратить внимание на правую скобку: степени с
каждым шагом на единицу уменьшаются, а степени
–
увеличиваются.
При преобразовании выражений конечно же следует не забывать о порядке выполнения действий: при выполнении действий в выражении без скобок сначала выполняют действия большей ступени. Если в нём все действия одной ступени, то их выполняют в том порядке, в котором они записаны, то есть слева направо. Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют все действия внутри скобок, начиная с большей ступени.
Действия I ступени – сложение и вычитание.
Действия II ступени – умножение и деление.
Действия III ступени – возведение в степень.
Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задание первое. Найдите численное значение выражения
.
Решение.
Задание
второе. Найдите значение выражения ,
если
.
Решение.
Задание
третье. Найдите значение выражения .
Решение.
Задание
четвёртое. Найдите значение выражения ,
если
.
Решение.
Задание пятое. Найдите численное значение выражения
.
Решение.
Следует
отметить, что наше первоначальное выражение имеет смысл только при ,
и
.
Задание
шестое. Выражение является
целым числом. Найдите это целое число.
Решение.