Напомним, что степенью с натуральным показателем называется произведение
где
–
основание степени (
),
–
показатель степени (
).
Возвести
в
-ю
степень – это значит найти значение выражения
.
При
имеем
.
Степень
с нулевым показателем: ,
если
,
то есть любое число (кроме
)
в нулевой степени равно
.
Выражение
не
имеет смысла.
Степенью
с отрицательным целым показателем называется число ,
где
,
и
.
При возведении отрицательного числа в нечётную степень получится отрицательное число, а при возведении отрицательного числа в чётную степень получится положительное число.
Для
любых действительных чисел и
,
отличных от
,
и для любых целых показателей
и
имеют
место следующие пять основных свойств степеней:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Используя
степени с целыми показателями, любое положительное число у можно записать в
виде произведения ,
где
и
–
целое число. Такая запись называется стандартным видом числа
,
а число
–
порядком числа
.
Также
напомним, что корнем -й
степени (
)
из действительного числа
называют
такое действительное число
,
-я
степень которого равна
,
то есть
.
Арифметическим
корнем -й
степени (
)
из числа
называется
неотрицательное число,
-я
степень которого равна
.
Обозначают арифметический корень с помощью знака радикала:
.
Под
выражением условимся
понимать:
1.
единственное значение корня в случае нечётного ;
2.
арифметический корень в случае чётного ;
3.
,
если
,
при любом
.
Заметим,
что при
нечётном
,
но
при
чётном
.
Так,
например, ,
.
То
есть ,
где
Действие,
посредством которого отыскивается корень -й
й степени, называется извлечением корня
-й
степени. Это действие является обратным действию возведения в
-ю
степень.
А
теперь давайте вспомним свойства арифметического корня -й
степени. Итак, при условии, что
,
,
а
,
и
–
натуральные числа, причём
,
,
справедливы равенства:
1.
.
(число
может
также быть равным
)
2.
.
3.
.
(число
может
быть любым целым, если
)
4.
.
5.
.
Также следует вспомнить формулу сложного радикала:
.
И
ещё напомним, что степенью с рациональным показателем называется число ,
где
,
,
,
,
.
Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задание первое. Найдите значения выражений:
а)
при
;
б)
при
.
Решение.
Задание
второе. Вычислите .
Решение.
Задание
третье. Упростите выражение .
Решение.