Площадь треугольника

Вопросы занятия:

·  вывести пять основных формул, которые подойдут для нахождения площади любого треугольника, независимо от его свойств, углов или размеров.

Материал урока

Начнём мы с формулы площади треугольника по стороне и высоте.

Итак, площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину высоту, проведённую к ней.

Докажем это утверждение. Пусть  – некоторый треугольник. Проведём к стороне  высоту  и докажем, что площадь треугольника равна .

Достроим треугольник  до параллелограмма . И рассмотрим треугольники  и . У них стороны ,  равны, как противолежащие стороны параллелограмма . А сторона  – общая. Следовательно, треугольники  равны по трём сторонам, то есть по третьему признаку. А значит, .

Так как параллелограмм  состоит из рассмотренных треугольников  и , то его площадь равна . А так как треугольники имеют равные площади, то можем записать, что площадь параллелограмма равна . Отсюда площадь треугольника .

Мы уже знаем, что площадь параллелограмма равна произведению длины стороны на высоту, проведённую к ней. А тогда площадь нашего параллелограмма .

Подставим получившееся выражение в предыдущее равенство и получим, что площадь треугольника .

Что и требовалось доказать.

Из доказанного следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

Возьмём некоторый прямоугольный треугольник .

Катет  – это и есть высота, проведённая к стороне , которая также является катетом. А тогда, так как площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту, проведённую к ней, получаем, что площадь треугольника  равна половине произведения длин катетов рассматриваемого треугольника.

Задача.

Найдите площадь треугольника , если длина стороны  см, а высота , проведённая к этой стороне, в  раза её меньше.

Так как по условию задачи длина высоты  в 2 раза меньше стороны , то запишем:

Мы доказали, что площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту, проведённую к ней. А тогда площадь рассматриваемого треугольника найдём как . Подставим известные нам значения  и . Выполним вычисления и получим,

Задача.

Найти длины катетов прямоугольного треугольника, если они относятся как , а его площадь равна  см².

Пусть  – прямоугольный треугольник, у которого катет . По свойству пропорции имеем . Откуда .

Выше мы выяснили, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов. А тогда площадь рассматриваемого прямоугольного треугольника равна .

Подставим в эту формулу вместо . И выполнив преобразования, получим,

Так как из условия задачи известна площадь треугольника, то можем приравнять . Разделим обе части равенства на  и получим, что . Отсюда  (см). При этом обратите внимание, что мы взяли только положительное значение , так как длина стороны не может быть отрицательной.

Чтобы найти длину второго катета  подставим найденное значение  в равенство: . Выполним вычисления и получим,

Следующей вспомним формулу площади треугольника по трём сторонам.

Эта формула имеет своё название: формула Герона.

Площадь треугольника со сторонами ,  и  выражается следующей формулой: , где .

Докажем это утверждение.  Итак, рассмотрим треугольник , в котором ,  и .

Понятно, что в любом треугольнике по крайней мере два угла острые. Допустим, углы  и  – острые. Из вершины  треугольника опустим высоту  на сторону .

Тогда имеем два прямоугольных треугольника  и . Введём обозначения: ,  и . Понятно, что длина стороны .

По теореме Пифагора выразим общую сторону  треугольников  и .

; 

Затем приравняем правые части, получившихся равенств и преобразуем равенство. Теперь давайте разложим выражение в левой части нашего равенства на множители по формуле разности квадратов. Учтём, что длина стороны , разделим обе части равенства на .

И затем сложим последнее равенство с равенством .  И разделим обе части получившегося равенства на 2. Получим,

Теперь найдём высоту  треугольника . Применим формулу разности квадратов. Затем заменим . Упростим выражения в скобках. Потом в первой скобке воспользуемся формулой квадрата разности, а во второй – формулой квадрата суммы. А теперь разложим числители обеих дробей разложим на множители, применяя формулу разности квадратов:

Поскольку полупериметр равен . То имеем,

Подставим эти выражения в найденное выражение для . Получим,

Тогда  равно

Напомним, что площадь треугольника можно вычислить по формуле . Заменим высоту нашим выражением. Тогда получаем, что площадь треугольника можно вычислить по формуле:

А это и есть формула Герона.

Задача.

Найти площадь треугольника со сторонами  см,  см и  см.

Нам известны длины трёх сторон треугольника, значит, можем воспользоваться формулой Герона . Для этого вычислим полупериметр. Он равен  (см).

Теперь можем поставить все известные нам данные в формулу. Выполним вычисления и получим, что площадь данного треугольника равна

Следующей повторим формулу площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

Докажем это утверждение. Пусть есть произвольный треугольник . Из вершины  опустим высоту .  

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный по построению, так как . По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике имеем . Отсюда получаем, что высота .

Мы помним, что площадь треугольника равна . Подставим вместо . А тогда получаем, что площадь треугольника можно вычислить как:

Задача.

Найти площадь , если  см,  см, .

Запишем формулу для вычисления площади треугольника.

Подставим в эту формулу данные из условия задачи. Посчитаем и получим, что площадь треугольника равна

Теперь перейдём к формуле площади треугольника по трём сторонам и радиусу описанной окружности.

Докажем, что площадь данного треугольника можно вычислить по формуле:

Итак, пусть есть треугольник  со сторонами ,  и . И дана окружность с центром в точке О, которая описана вокруг треугольника.

Обозначим угол . Напомним, что площадь треугольника можно вычислить по двум сторонам и углу между ними. Подставим наши данные в ормулу.

По следствию из теоремы синусов имеем, что радиус описанной окружности равен

Выразим из этой формулы . И подставим полученное выражение в первую формулу.

Упростим. Получим, что площадь треугольника можно вычислить по следующей формуле.

Что и требовалось доказать.

Задача.

В окружность с радиусом  см вписан . Причем сторона  треугольника является диаметром этой окружности, а сторона  равна  см. Найти площадь треугольника.

Так как сторона  по условию задачи, то . Известно, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой. Поэтому угол . А значит, треугольник  прямоугольный. По теореме Пифагора найдём его катет . Получаем, что  равно

Подставим все данные в формулу площади треугольника по трём сторонам и радиусу описанной окружности. Посчитаем и получим, что площадь данного треугольника равна

И рассмотри последнюю формулу площади треугольника по трём сторонам и радиусу вписанной окружности.

Площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Докажем это утверждение. Итак, пусть есть треугольник , у которого ,  и . И дана окружность с центром в точке О, которая вписана в треугольник.

Докажем, что площадь данного треугольника можно вычислить по формуле: .

Рассмотрим треугольник . Отрезок , как радиус, проведенный в точку касания. Значит,  – высота .

Мы помним, что площадь треугольника можно вычислить, как половину произведения стороны на высоту, проведённую к ней. Тогда площадь треугольника равна .

Аналогично можем найти площади треугольников  и .

А так как площадь всего треугольника равна сумме площадей этих трёх треугольников, то получаем, что площадь треугольника  равна

Заметим, что первый множитель является полупериметров нашего треугольника. А тогда имеем площадь треугольника равна

Задача.

Дан равнобедренный треугольник со сторонами  см,  см и  см. Найдите радиус вписанной окружности.

Воспользуемся формулой площади треугольника по трём сторонам и радиусу вписанной окружности. Найдём площадь треугольника. Для этого опустим высоту . Так как в равнобедренном треугольнике высота является и медианой, то .

В прямоугольном треугольнике  по теореме Пифагора найдём . Получаем,

Напомним, что площадь треугольника можно вычислить как половину произведения стороны на высоту, проведённую к ней. Тогда площадь треугольника равна

Вычислим полупериметр. Он равен . А теперь из нашей первой формулы выразим радиус вписанной окружности. Подставим известные значения. Посчитаем и получим, что радиус окружности равен .

Итоги урока

На этом уроке мы говорили о «площади треугольника». А точнее вывели пять основных формул, которые подойдут для нахождения площади любого треугольника, независимо от его свойств, углов или размеров.