Основные формулы, связывающие элементы треугольника. Площадь треугольника

Вопросы занятия:

·  вспомнить основные формулы, связывающие элементы треугольника;

·  доказать, что сумма углов треугольника равна 180°;

·  вспомнить, какой угол называют внешним углом треугольника;

·  доказать теорему о внешнем угле треугольника;

·  поговорить о соотношениях между углами и сторонами треугольника;

·  повторить неравенство треугольника.

Материал урока

Начнём мы разговор с истории.

Блез Паскаль, великий французский учёный XVII века, заметил, что у всех треугольников сумма трёх углов равна 180^о. И у него возник вопрос: «Как это доказать?»

Тогда он отрезал ножницами два уголка треугольника и приложил их к третьему углу. В результате получился развёрнутый угол, градусная мера которого, как вам уже известно, равна 180^о. Это было его первое собственное открытие.

Итак, давайте сформулируем и докажем теорему о сумме углов треугольника.

Звучит она так. Сумма углов треугольника равна ста восьмидесяти градусам.

Доказательство. Пусть  – произвольный треугольник. Докажем, что сумма углов .

Проведём прямую а через точку В параллельно стороне . Углы ,  – внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых а и  и секущей . А значит, . Углы ,  являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых а и  и секущей . Следовательно, .

Сумма градусных мер углов ,  и  равна градусной мере развёрнутого угла с вершиной в точке В, то есть . А так как , , то получаем, что . То есть .

Теорема доказана.

Из теоремы следует, что все углы равностороннего треугольника равны по 60^о.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90^о.

А теперь давайте вспомним, какой угол называют внешним углом треугольника.

Определение.

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с каким-либо углом треугольника.

Например,  – внешний угол треугольника , смежный с углом .

  – внешний угол, смежный с углом .

Сформулируем теорему о внешнем угле треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Доказательство. Пусть  – произвольный треугольник. Докажем, что градусная мера , не смежных с ним.

Сумма градусных углов  равна градусной мере развёрнутого угла, то есть . А по теореме о сумме градусных мер углов треугольника . Из полученных двух равенств следует, что .

Что и требовалось доказать.

Задача.

На рисунке: , а . Найдите градусную меру .

Так как углы ,  – смежные, то . Нам известно, что , тогда .

Искомый угол  является внешним углом нашего треугольника, смежным с углом . А значит, его градусная мера равна . Следовательно, угол .

Напомним, что по величине углов выделяют остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники. А также отметим, что сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

А теперь мы сформулируем и докажем теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство. Сначала докажем, что против большей стороны лежит больший угол. Возьмём некоторый треугольник . Пусть у него сторона . Отложим сторону  на стороне , то есть отрезок .

Так как получается, что треугольник  – равнобедренный, то  (как углы при основании равнобедренного треугольника).

В треугольнике  угол , так как внешний угол больше любого внутреннего, не смежного с ним. В треугольнике  угол . Из последнего неравенства и из того, что , а , следует, что .

То есть, против большей стороны  лежит больший .

Что и требовалось доказать.

Теперь докажем, что против большего угла лежит большая сторона.

Пусть  треугольника . Если предположить, что сторона , то по доказанной первой части данной теоремы . Получили противоречие.

Если сторона , то получается, что треугольник  равнобедренный, а тогда . Снова противоречие.

Так как в каждом из предыдущих случаев наше предположение неверно, тогда получаем, что .

Теорема доказана.

Из только что доказанной теоремы вытекают следствия.

В прямоугольном треугольнике  гипотенуза  больше катетов  и .

Действительно, верно, так как гипотенуза лежит против прямого угла, а катеты – против острых, градусная мера которых меньше 90^о.

Другое следствие называют признаком равнобедренного треугольника.

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Доказательство. Пусть  треугольник, у которого . Докажем, что равны стороны , лежащие против этих углов.

Предположим, что сторона . Тогда по предыдущей теореме , лежащий против большей стороны , будет , лежащего против меньшей стороны . Получили противоречие условию равенства углов .

Следовательно, наше предположение неверно и стороны  равны, то есть треугольник  является равнобедренным.

Что и требовалось доказать.

Задача.

В треугольнике : , а . Верно ли, что сторона  больше каждой из сторон  и ?

По теореме о сумме углов треугольника сумма углов . Выразим из этого равенства угол .

Затем подставим известные значения углов , а  и найдём градусную меру угла . Она равна:

А теперь, воспользовавшись теоремой о соотношениях между сторонами и углами треугольника, выясним, какая же из сторон нашего треугольника имеет большую длину.

Так как против большего угла лежит большая сторона, а в нашем случае большую градусную меру имеет угол , то большей стороной треугольника является сторона . Поэтому, ответ на вопрос задачи будет таким: «нет, неверно, что сторона  больше каждой из сторон  и ».

А теперь давайте сформулируем и докажем теорему, которая имеет название неравенство треугольника.

Длина любой стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Доказательство. Пусть  – произвольный треугольник. Докажем, что длина стороны .

Опустим высоту  на большую сторону . Получили два прямоугольных треугольника:  и . Напомним, что в любом прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы. Тогда можем записать, что в треугольнике  катет , а в треугольнике  катет .

Сложим эти два неравенства.

Обратите внимание, в левой части неравенства записана сумма сторон . О она в свою очередь равна стороне .

Т.е. получили, что .

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что для любых трёх точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы следующие неравенства:

И ещё одно следствие из теоремы.

Длина каждой стороны треугольника больше разности длин двух других его сторон.

Задача.

Докажите, что сторона  меньше его полупериметра.

Доказательство. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. В нашем треугольнике  для стороны  имеем следующее неравенство: .

Прибавим к обеим частям этого неравенства  и получим:

Заметим, правая часть полученного неравенства и есть полупериметр треугольника .

Что и требовалось доказать.

Итоги урока

На этом уроке мы вспоминали «основные формулы, связывающие элементы треугольника». Доказали, что сумма углов треугольника равна ста восьмидесяти градусам. Вспомнили, какой угол называют внешним углом треугольника, а затем доказали теорему о внешнем угле треугольника. Поговорили о соотношениях между углами и сторонами треугольника. И завершили повторение неравенством треугольника.