Подобие и равенство треугольников

Вопросы занятия:

·  поговорить о равенстве и подобии треугольников;

·  сформулировать и доказать три признака равенства треугольников;

·  сформулировать и доказать три признака подобия треугольников.

Материал урока

Напомним, что две фигуры называют равными, если их можно совместить.

Давайте, возьмём два равных треугольника  и . И наложим их друг на друга.

Видим, они совместились, то есть попарно совместились их вершины и стороны. А значит, попарно совместились и углы этих треугольников.

Следовательно, можем сделать вывод: если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника.

Также следует отметить, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и наоборот: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Равенство треугольников  и  обозначают следующим образом:

И говорят «треугольник А Б Ц равен треугольнику А₁ Б₁ Ц₁».

Исходя из рассмотренного, можно сказать, что равенство треугольников мы можем установить не только наложением их друг на друга, но и сравнивая их элементы.

Для установления равенства треугольников пользуются соответствующими признаками равенства треугольников.

Итак, первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Докажем это утверждение. Пусть  и  – треугольники, у которых , , . Докажем, что .

Так как , то  совместится с , а  и  совместятся с лучами  и .

Так как , а , то  совместится с , а  – с . Исходя из этого, точка  совместится с ,  – с . Следовательно,  совместится с .

Тогда имеем, треугольники  и  полностью совместились. Значит, .

Таким образом, теорема доказана.

Задача.

На рисунке , . Доказать, что .

Так как , , то .

Рассмотрим два треугольника  и . У них стороны  равны по условию задачи. Выше мы выяснили, что , а угол  – общий угол. Следовательно, данные треугольники равны  по первому признаку равенства треугольников. Значит, у них соответственные стороны и углы равны. То есть . Что и требовалось доказать.

Сформулируем второй признак равенства треугольников.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Докажем это утверждение. Пусть  и  – треугольники, у которых , , . Докажем, что .

Совместим треугольник  с треугольником 1 таким образом, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, сторона АВ – с равной ей стороной А₁В₁, а вершины С и С₁ оказались по одну сторону от прямой А₁В₁.

Так как  и , то  совместится с , а  – с . Поэтому вершина С – общая точка сторон АС и ВС, окажется лежащей и на лучах А₁С₁ и В₁С₁, а следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной С₁. Значит, совместятся стороны  и ,  и . Получаем, что треугольники  и  полностью совместятся. А значит, .

Теорема доказана.

Задача.

Отрезки  и  пересекаются в точке , которая является серединой отрезка , а . Доказать, что .

Рассмотрим  и . У них , так как Е – середина отрезка АВ. Углы  равны по условию задачи. А углы  равны как вертикальные. Получаем, что треугольники  равны по второму признаку.

Прежде чем сформулировать третий признак равенства треугольников, давайте немного подробнее поговорим о равнобедренных треугольниках.

Напомним, что треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Возьмём, к примеру, треугольник , у которого стороны . Как мы уже отмечали, эти стороны называют боковыми сторонами. Третья сторона  называется основанием равнобедренного треугольника. Точка  называется вершиной равнобедренного треугольника, а точки  и  – вершинами при его основании. Угол  называется углом при вершине, а углы  и  – углами при основании.

Теперь сформулируем некоторые теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.

Первая теорема звучит следующим образом: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

И вторая теорема: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Ну а теперь давайте перейдём к третьему признаку равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Докажем это утверждение. Пусть  и  – два треугольника, у которых , , . Докажем, что .

Приложим треугольник  к треугольнику  таким образом, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, вершина В – с вершиной В₁, а вершины С и С₁ оказались по разные стороны от прямой А₁В₁. Тогда возможны три случая.

Рассмотрим первый случай.

Так как по условию теоремы , , то треугольники  и  являются равнобедренными. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника , . Поэтому .

Итак мы знаем, что ,  и . Следовательно, треугольник  по первому признаку равенства треугольников.

Рассмотрим второй случай.

Так как по условию теоремы , то треугольник  является равнобедренным. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника углы при основании . Можем сказать, что треугольники  по первому признаку равенства треугольников, так как , , .

И третий случай.

По условию теоремы  и . Из этого следует, что треугольники  и  являются равнобедренными. Тогда по теореме о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника . А, следовательно, . Итак, треугольники  по первому признаку равенства треугольников, так как  и  по условию теоремы, а .

Теорема доказана.

Задача.

Отрезок  – общее основание равнобедренных  и. Докажите, что .

Доказательство. Рассмотрим треугольники  и . У этих треугольников , , а сторона  – общая. Тогда получаем, что треугольники  по третьему признаку равенства треугольников.

Что и требовалось доказать.

Теперь перейдём к признакам подобия треугольников.

Вспомним, что подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Подобные треугольники обозначают следующим образом: .

Сформулируем первый признак подобия треугольников.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть у треугольников  и  , .

Напомним, что сумма углов треугольника равна 180^о. Значит, для наших треугольников можем записать следующие равенства:

Выразим из первого равенства , а из второго – угол . Так как по условию , , то, следовательно, . То есть у рассматриваемых треугольников углы соответственно равны.

Теперь докажем, что сходственные стороны этих треугольников пропорциональны.

Так как , то по теореме: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы; площадь треугольника .

Углы , а тогда отношение площадей наших треугольников равно .

Заметим, что у этих равенств левые части одинаковые, а тогда можно приравнять их правые части:

Упростим, получившееся равенство. Для этого обе части равенства разделим на , а затем умножим на . И получим,

Аналогично, так как , , то имеют место следующие равенства:

Их левые части равны, а тогда можем приравнять их правые части. Упростим, получившееся равенство. И получим,

Таким образом, из полученных равенств следует .

То есть мы получили, что сходственные стороны треугольников  и  пропорциональны. Выше мы доказали, что соответственные углы этих треугольников равны, а значит, .

Что и требовалось доказать.

Задача.

На рисунке:  см,  см,  см, а . Найти .

Рассмотрим треугольники  и . У них углы  по условию задачи, а  – общий. Значит,  по первому признаку.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сходственных сторон: . Подставим известные значения сторон из условия задачи: . Выразим . Запишем ответ.

Сформулируем и докажем второй признак подобия треугольников.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники  и , у которых , .

Построим на стороне  треугольника  треугольник , у которого , . Тогда треугольники  по первому признаку. Для сходственных сторон можем записать, что .

По условию, . А тогда их этих двух равенств получим, что .

Рассмотрим треугольники  и . У них . Сторона  – общая. , так как  и . А значит, треугольники  по двум сторонам и углу между ними, то есть по первому признаку равенства треугольников.

Таким образом, мы получили, что треугольник , а построенный треугольник . Отсюда следует, что треугольник .

Что и требовалось доказать.

Задача.

На одной из сторон  отложены отрезки  и , равные соответственно  см и  см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки  и , соответственно равные  см и  см. Подобны ли  и ?

Рассмотрим треугольники  и . У них  – общий. Составим отношения сторон , , образующих . Видим, что эти отношения равны, а значит, .

А, следовательно, треугольники  по двум сторонам и углу между ними, то есть по второму признаку подобия треугольников.

Ну а теперь сформулируем третий признак подобия треугольников.

Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники  и , у которых стороны соответственно пропорциональны .

Построим на стороне  треугольника  треугольник , у которого , .

Тогда треугольники  по первому признаку подобия треугольников. Поэтому стороны .

По условию стороны . Сравнивания эти равенства, получаем, что ; .

Тогда треугольники  по третьему признаку равенства треугольников, так как только что мы получили, что ; , а сторона  у них общая. Следовательно, у этих треугольников углы соответственно равны, то есть . А так как , то .

Таким образом, мы получаем, что у треугольников  и  стороны пропорциональны и . Следовательно,  по второму признаку подобия треугольников.

Что и требовалось доказать.

Задача.

Выяснить, подобны ли  и , если  см,  см,  см,  см,  см,  см?

Так как нам известны длины всех сторон данных треугольников, то проверим, пропорциональны ли стороны треугольника  сторонам треугольника .

Найдём отношения сторон:

Видим, что эти отношения равны, а значит, . Следовательно,  по третьему признаку подобия треугольников.

Итоги урока

На этом уроке мы говорили о равенстве и подобии треугольников. Сформулировали и доказали три признака равенства треугольников. А также сформулировали и доказали три признака подобия треугольников.