Треугольник. Элементы треугольника

Вопросы занятия:

·  назвать элементы треугольника;

·  доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке;

·  доказать, что биссектрисы треугольника также пересекаются в одной точке;

·  доказать, что высоты или прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке.

Материал урока

Треугольник – это одна из самых замечательных и самых важных фигур в геометрии.

Итак, давайте отметим три точки А, В и С, которые не лежат на одной прямой, и соединим их отрезками. В результате получим геометрическую фигуру, которая и называется треугольником.

Точки , ,  – вершины треугольника, а отрезки ,  и  – стороны треугольника.

Треугольник, который мы с вами построили, обозначают так:

И говорят «треугольник А Б Ц».

Поменяв буквы местами, этот же треугольник можно обозначить и таким образом:

Углы , ,  называют углами .

Кстати, углы треугольника можно обозначать и одной латинской буквой: например, ∠𝐴, ∠𝐵, ∠𝐶.

Сумма длин всех сторон треугольника называется периметром треугольника. Т.е. периметр нашего треугольника равен .

Различают следующие виды треугольников:

- в зависимости от величины углов:

остроугольный (все углы треугольника острые, т.е. меньше 90^о);

прямоугольный (один из углов треугольника прямой, т.е. равен 90^о);

Нужно помнить, что стороны прямоугольного треугольника имеют специальные названия. Итак, две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

И третий вид треугольников: тупоугольный (один из углов треугольника тупой, т.е. больше 90^о).

Затем, треугольники различают в зависимости от величины сторон:

разносторонний (все стороны разной длины);

равнобедренный (две стороны равны и называются боковыми, а третья сторона – основанием);

и равносторонний (все стороны равны между собой).

Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол; против равных сторон – равные углы. Любая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других сторон.

Определение.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Любой треугольник имеет три медианы. Например, возьмём треугольник . Если точки ,  и  – соответственно середины сторон ,  и , то отрезки ,  и  – медианы этого треугольника.

Медианы, проведённые из вершин ,  и  (или их длины) треугольника  можно обозначить:

Определение.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

Любой треугольник имеет три биссектрисы. Возьмём некоторый треугольник  и проведём биссектрису  угла ,  – угла ∠𝐴𝐵𝐶 и  – угла .

Биссектрисы, проведённые из вершин ,  и  (или их длины) треугольника  можно обозначить:

Определение.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из его вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

Каждый треугольник имеет три высоты. Изобразим треугольник  и отрезки ,  и , которые являются высотами нашего треугольника.

Высоты, проведённые из вершин ,  и  (или их длины) треугольника  можно обозначить:

Определение.

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Поскольку в любом треугольнике три стороны, то треугольник имеет три средние линии. Средняя линия треугольника, соединяющая две данные стороны, параллельна третьей стороне, а её длина равна половине этой стороны.

Отметим свойства, которыми обладают медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Биссектрисы треугольника также пересекаются в одной точке.

Высоты или прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке.

Докажем каждое из этих свойств по очереди.

Итак, три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

Доказательство. Рассмотрим треугольник . Пересечение медиан  следует из того, что  – внутренний луч ;  – внутренний луч .

Тогда отрезок  является средней линией треугольника . Значит,  и .

Обозначим середины отрезков  – середина ,  – середина , тогда  – средняя линия . Следовательно,  и . Таким образом,  и , следовательно, четырёхугольник  – параллелограмм, диагонали которого  и делятся этой точкой пополам, т.е.  и .

Но тогда .

Что и требовалось доказать.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим треугольник .  и  биссектрисы треугольника. Обозначим буквой О точку их пересечения. Давайте из этой точки проведём перпендикуляры ,  и  соответственно к прямым ,  и .

Ранее мы с вами доказали теорему о свойстве точек биссектрисы неразвёрнутого угла. Из этой теоремы следует, что

Т.е. точка О равноудалена от сторон угла . Значит, лежит на биссектрисе  этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника  пересекаются в точке О.

Что и требовалось доказать.

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Докажем это утверждение. Рассмотрим произвольный треугольник . Нам нужно доказать, что прямые ,  и , содержащие его высоты, пересекаются в одной точке.

Для этого проведём через каждую вершину треугольника  прямую, параллельную противоположной стороне. Т.е. через вершину  проведём прямую параллельную стороне . Через вершину  – прямую параллельную стороне . А через вершину  – прямую параллельную стороне . Смотрите, у нас получился новый треугольник с вершинами ,  и . Рассмотрим его свойства. , значит, и . . Значит, и . Следовательно, четырёхугольник  является параллелограммом. Мы знаем, что противоположные стороны параллелограмма попарно равны. Значит, , .

Аналогично,

Следовательно, четырёхугольник  является параллелограммом. Значит, . Таким образом, точка  является серединой отрезка . Следовательно, высота  – серединный перпендикуляр .

Аналогично точка 𝐴 является серединой отрезка  и высота  – серединный перпендикуляр . Точка  является серединой отрезка  и высота  – серединный перпендикуляр .

Мы знаем, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Значит, и наши серединные перпендикуляры ,  и , проведённые к сторонам большого треугольника , пересекаются в одной точке. Обозначим её буквой О. Также мы показали, что эти же серединные перпендикуляры являются и высотами маленького треугольника . Значит, высоты треугольника  пересекаются в одной точке, в точке О.

Что и требовалось доказать.

А теперь рассмотрим решения нескольких задач.

Задача.

Периметр треугольника равен  см. Одна сторона больше другой на  см и меньше третьей на  см. Найдите стороны треугольника.

Пусть одна сторона треугольника равна  см, тогда другая будет  см, а третья  см. Известно, что периметр треугольника равен 50 см. Составим уравнение:

Решим это уравнение. Получим,

Тогда имеем одна сторона треугольника 18 см, вторая  (см) и третья  (см). Не забудем записать ответ.

Задача.

В равнобедренном треугольнике найти неизвестные стороны, если отношение боковой стороны к основанию равно , а периметр равен  см.

Пусть а – основание,  – боковая сторона равнобедренного треугольника, тогда . Отсюда, . Тогда периметр треугольника будет равен:

Заменим . Приведём подобные и получим, что периметр равен:

Составим уравнение. Решим его. Тогда получим, что

Запишем ответ.

Задача.

Дан треугольник, стороны которого соответственно равны ,  и  см. Найти периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

Пусть дан треугольник . Точки ,  и  — середины сторон ,  и , соответственно.

Запишем ответ.

Итоги урока

На этом уроке мы говорили о треугольниках. Рассмотрели их элементы. А также доказали, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Биссектрисы треугольника также пересекаются в одной точке. Высоты или прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке.