Метод координат. Координаты вектора

Вопросы занятия:

·  вспомнить, как определяют координаты векторов;

·  рассмотреть три вспомогательные задачи: определение координат середины отрезка, вычисление длины вектора по его координатам и определение расстояния между точками.

Материал урока

Итак, построим прямоугольную систему координат. От точки О начала координат отложим единичные векторы  и . Т.е. векторы длины, которых равны единице.

Причём, направление вектора  совпадает с направлением оси , а направление вектора  совпадает с направлением оси .

Векторы  называются координатными векторами.

Понятно, что любой вектор  можно разложить по векторам . Причём коэффициенты разложения, числа , определяются единственным образом.

Коэффициенты разложения вектора  по координатным векторам называют координатами вектора  в данной системе координат.

Напомним, что координаты вектора записывают в фигурных скобках через точку с запятой. При этом первым указывают коэффициент разложения , а вторым — .

Задание.

Записать координаты векторов, указанных на экране.

Решение.

Обратите внимание, что такие координаты данные векторы будут иметь только в конкретной системе координат и при конкретных координатных векторах .

Коэффициенты разложения нулевого вектора по векторам  и  равны нулю.

Тогда получаем, что нулевой вектор имеет координаты , причём в любой системе координат и при любых координатных векторах.

Если векторы равны, то их разложения по векторам  и  также будут равны, а значит, равны будут и коэффициенты разложения.

Таким образом, получаем, что координаты равных векторов соответственно равны.

Вспомним ещё один особенный случай — противоположные векторы. Их разложения противоположны.

Значит, противоположны будут и соответственные координаты.

Задание.

Разложить векторы по координатным векторам  и  и указать их координаты.

Решение.

Задание.

Построить векторы по их координатам.

Координатами вектора  являются числа 8 и –1. Значит, чтобы переместиться из точки О на вектор , сначала нужно переместиться на вектор , а затем на вектор . Соединив точку О с конечной точкой, получим вектор .

Далее изобразим вектор . Для этого из точки О переместимся на вектор . Тем самым получим искомый вектор .

Чтобы из точки О переместиться на вектор , сначала переместимся на вектор , а затем на вектор . Проведём вектор из точки О в конечную точку. Так мы получили вектор .

Теперь давайте вспомним правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.

Сначала рассмотрим сумму двух векторов  и , координаты которых равны:

Пользуясь их координатами, можем записать разложения данных векторов по координатным векторам  и .

Сложим полученные равенства. Пользуясь свойствами сложения векторов и произведения вектора на число, получаем, что координаты вектора суммы векторов  и  равны:

Сформулируем правило.

Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Задание.

Найти координаты векторов суммы, если , , , .

Координаты вектора суммы  равны:

Координаты вектора суммы  равны:

Перейдём к разности векторов  и .

Из разложения вектора  вычтем разложение вектора .

Получаем, что координаты вектора разности равны:

Сформулируем правило.

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат данных векторов.

Задание.

Найти координаты векторов разности, если , , , .

Разность векторов  имеет координаты:

Разность векторов  имеет координаты:

Далее получим координаты произведения вектора  на число .

Получаем, что координаты произведения равны:

Сформулируем правило.

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Задание.

Найти координаты произведения вектора на число.

Координаты вектора . Они равны:

Координаты вектора  равны:

Вектор  имеет координаты:

Ну, а вектор  имеет координаты:

Рассмотрим прямоугольную систему координат и какую-нибудь точку .

Проведём вектор из точки О к точке М. Такой вектор  называют радиус-вектором точки М.

Давайте докажем, что координаты точки М равны соответствующим координатам её радиус-вектора .

Понятно, что вектор  по правилу параллелограмма. Теперь необходимо доказать, что вектор , а вектор . Тем самым мы докажем, что вектор .

Если , то длина отрезка . А так как векторы  и  сонаправлены, то вектор , а длина .

Если же , то длина отрезка . Так как векторы  и  противоположно направлены, можно записать, что вектор . А .

Ну, и если , то точка М лежит на оси  и вектор . Тогда его можно выразить как . А это значит, что справедливо равенство .

Абсолютно аналогично проводят доказательство того, что вектор .

Итак, мы доказали, что вектор . То есть координаты вектора , так же как и у точки М.

Что и требовалось доказать.

Задание.

Назвать координаты вектора.

Решение.

Итак, мы доказали, что координаты точки М равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Радиус-вектором точки называют вектор, начало которого совпадает с точкой начала координат, а конец — с данной точкой.

Пользуясь этим утверждением, выразим координаты вектора  через координаты его начала и конца. Пусть точка А имеет координаты , а точка В имеет координаты .

Вектор . А они в свою очередь являются радиус-векторами точек В и А соответственно. А это значит, что координаты вектора , а координаты вектора . Можем найти координаты вектора разности: . Понятно, что эти значения и будут координатами вектора .

Так мы доказали, что каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Задание.

По координатам точек  и  найти координаты вектора

.

Решение.

Теперь давайте рассмотрим три вспомогательных задачи, которые используют при решении геометрических задач методом координат.

Первой решим задачу на определение координат середины отрезка.

Пусть точка  и точка  — некоторые точки координатной плоскости. Точка  — середина отрезка . И нам необходимо определить её координаты.

Воспользуемся ранее доказанным утверждением и на основании того, что  — середина отрезка , запишем, что вектор .

Векторы  и  являются радиус-векторами точек А и В соответственно. Значит, координаты вектора , а координаты вектора .

Вектор их суммы будет иметь координаты .

Координаты вектора их полусуммы равны .

Эти значения и будут координатами вектора , который в свою очередь является радиус-вектором точки С. А это значит, что координаты точки  равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Таким образом, мы получили, что каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Далее рассмотрим вторую вспомогательную задачу — задачу на вычисление длины вектора по его координатам.

От начала координат отложим вектор . Проведём перпендикуляры  и  к осям.

Если точка , то и её радиус-вектор . При этом координаты вектора , ведь векторы .

Итак, можно сказать, что длина отрезка , а длина отрезка . Длину отрезка  можем выразить из прямоугольного треугольника  по теореме Пифагора, как

Но ведь векторы , а значит, . Получаем, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, причём от какой бы точки он не был отложен.

Далее решим последнюю вспомогательную задачу — задачу на определение расстояния между двумя точками.

Пусть точка , а точка . Выразим расстояние  между этими точками через их координаты.

Для начала рассмотрим вектор . Его координаты равны разностям соответствующих координат конца М₂ и начала М₁.

Тогда длина этого вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Но с другой стороны, длина вектора . Отсюда получаем, что расстояние между двумя точками находят, как корень квадратный из суммы квадратов разностей соответствующих координат данных точек.

Итоги урока

На этом уроке мы поговорили о «методе координат». Вспомнили, как определяют координаты векторов. Рассмотрели три вспомогательные задачи: определение координат середины отрезка, вычисление длины вектора по его координатам и определение расстояния между точками.