Действия над векторами

Вопросы занятия:

·  вспомнить, как выполняют сложение векторов;

·  назвать законы сложения векторов;

·  поговорить о разности векторов;

·  вспомнить, как выполняется умножение вектора на число.

Материал урока

Начнём с понятия суммы двух векторов. Итак, рассмотрим два ненулевых вектора:  и .

Отметим произвольную точку А и отложим от неё вектор . Далее от точки  отложим вектор . Изобразим вектор . Этот вектор и есть сумма векторов .

Сумму векторов обозначают так:

Напомним, что данное правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Вы могли усомниться, что точку А, действительно, можно выбирать произвольно.

Докажем это. Найдём сумму векторов  и , но начнём откладывать их от некоторой точки . Нам необходимо доказать, что полученный вектор .

Из построений видно, что

Что и требовалось доказать.

Задание.

Изобразить вектор суммы векторов  и .

Отметим произвольную точку А, отложим от неё вектор .

Затем от точки  отложим вектор .

Вектор .

Складывая по правилу треугольника произвольный вектор  с нулевым вектором, получим, что для любого вектора  справедливо следующее равенство:

Правило треугольника можно сформулировать ещё и таким образом:

если ,  и  — произвольные точки, то сумма векторов .

Задача.

Стороны ,  и   соответственно равны ,  и  см. Найти длины векторов, задающих суммы векторов:  и ,  и ,  и .

Решение.

Для дальнейшей работы с векторами нам понадобится повторить следующие законы сложения векторов:

сумма векторов  и  равна сумме векторов  и .

Этот закон называют переместительным законом: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

И второй закон: чтобы к сумме векторов  и  добавить вектор , то можно к вектору  добавить сумму векторов  и .

Этот закон называют сочетательным законом.

Давайте докажем каждый из этих законов.

Рассмотрим переместительный закон для неколлинеарных векторов  и .

Итак, от произвольной точки А отложим вектор  и вектор .

На этих векторах построим параллелограмм .

А теперь, пользуясь правилом треугольника сложения двух векторов, заметим, что

Что и требовалось доказать.

Теперь перейдём к доказательству сочетательного закона для трёх неколлинеарных векторов ,  и .

От произвольной точки А отложим вектор . От точки В отложим вектор . А от точки С отложим вектор .

Рассмотрим левую часть равенства, выражающего сочетательный закон.

Теперь аналогично поступим с правой частью равенства, задающего сочетательный закон.

Что и требовалось доказать.

Вернёмся к рисунку из доказательства переместительного закона.

Обратите внимание, если векторы  и  отложить от одной точки и построить на них параллелограмм, то диагональ этого параллелограмма задаёт вектор суммы векторов .

Такое правило сложения векторов называют правилом параллелограмма.

Задание.

Изобразить вектор суммы для каждой пары векторов, пользуясь правилом параллелограмма:

Решение.

Обратите внимание, что каждый раз вектор суммы берёт своё начала из точки начала обоих векторов-слагаемых.

Теперь давайте перейдём к сложению нескольких векторов.

Построим вектор суммы векторов ,  и .

От некоторой точки А отложим вектор . Далее от точки В отложим вектор . А от точки С отложим вектор .

Будем последовательно складывать наши векторы, пользуясь правилом треугольника.

Тогда можем сказать, что .

Так, последовательно складывая первый вектор со вторым, затем их сумму с третьим и так далее, можно найти суммы четырёх, пяти и большего числа векторов.

Такое правило построения суммы векторов называют правилом многоугольника.

Сформулируем его в общем виде.

Если , , …,  — произвольные точки плоскости, то

Это равенство справедливо для любых точек , , …, . И, в частности, для случая, когда некоторые из них совпадают.

Например, если начало первого вектора совпадает с концом последнего, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.

Задача.

 равнобокая трапеция. и   её основания, боковая сторона равна  см. Построить вектор  и найти его длину.

Сначала постоим вектор суммы. Двигаясь по сторонам трапеции, последовательно отложим друг от друга векторы , ,  и .

Вектором их суммы будет вектор, проведённый из начала первого слагаемого, то есть вектора , к концу последнего слагаемого, то есть вектора . Таким вектором является вектор .

Значит, сумма данных векторов равна

Осталось найти его длину. Она равна

А теперь давайте поговорим о разности двух векторов.

Определение.

Разностью векторов  и  называют такой вектор , сумма которого с вектором  равна вектору . Напомним, что обозначают её так:

Задача.

По данным векторам  и  построить вектор .

Отметим на плоскости произвольную точку О и от неё отложим вектор , и вектор .

Следуя правилу треугольника, можем отметить, что сумма векторов . Или сумма векторов . Применив переместительный закон сложения векторов, можем записать, что сумма вектора . Отсюда по определению следует, что разность векторов . Вектор  — искомый.

Эту задачу можно решить другим способом. Но перед тем как его привести вспомним понятие вектора, противоположного данному.

Для произвольного ненулевого вектора  вектор  будет противоположным, если:

Противоположным нулевому вектору будет любой нулевой вектор.

Вектор, противоположный вектору , обозначается так:

И говорят «вектор минус ».

Очевидно, что сумма вектора  с противоположным ему равна нулевому вектору.

Запишем теорему о разности двух векторов.

Для любых векторов  и  справедливо равенство:

Докажем данную теорему.

Что, требовалось доказать.

Опираясь на эту теорему, приведём ещё одно решение задачи на построение разности векторов  и .

Отметим произвольную точку О и от неё отложим вектор . Далее отложим от точки А вектор . По правилу треугольника сумма . А значит, пользуясь теоремой о разности двух векторов, можем сделать вывод о том, что

И вектор  — искомый.

Итак, мы получили, что вектор разности двух векторов можно строить двумя способами.

Можно от некоторой точки О отложить векторы  и , равные векторам  и . При этом вектором их разности будет вектор , направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.

Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов  и  можно представить в виде суммы вектора . Тогда, отложив от некоторой точки О вектор , а от точки А — вектор , по правилу треугольника получим вектор . Он является вектором суммы вектора . И, соответственно, вектором разности векторов  и .

Задача.

Сторона квадрата  равна . Найти длину вектора .

Рассмотрим векторы  и . Они отложены от одной точки, поэтому можем сразу заметить, что их разностью будет вектор, проведённый из конца вектора-вычитаемого в конец вектора-уменьшаемого. То есть,

Получаем, что

И вспомним ещё одно действие над векторами — умножение вектора на число.

Определение.

Произведением ненулевого вектора  на число  называется такой вектор , длина которого равна .

Произведение числа  на вектор  обозначают так:

Запишем следствия из определения.

Произведение вектора  на ноль, равно нулевому вектору .

Действительно, по определению длина этого вектора равна произведению длины вектора  на ноль, то есть равна нулю. Значит, получаем нулевой вектор.

Вторым следствием из определения является то, что ненулевой вектор  коллинеарен вектору, заданному произведением данного вектора  на число .

Ведь, если , то полученный вектор сонаправлен вектору , а если , то он противоположно направлен ему. Но в каждом из этих случаев они будут коллинеарны.

Задание.

По данному вектору  построить векторы: , , , .

Решение.

Необходимо отметить ещё и следующие свойства произведения вектора на число.

Чтобы умножить вектор  на произведение чисел  и , можно вектор  сначала умножить на число , а затем на число .

Этот закон называют сочетательным, и его можно проиллюстрировать так.

Вторым свойством запишем, что произведение вектора  на сумму чисел  и  равно сумме произведений вектора  на число  и вектора  на число .

Это первый распределительный закон.

Проиллюстрируем его.

Второй распределительный закон.

Произведение суммы векторов  и  на число  равно сумме произведений вектора  на число  и вектора  на число .

Отметим, что данные свойства произведения вектора на число позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, также, как и в числовых выражениях.

Задание.

Преобразовать выражения с векторами с помощью известных свойств:

а) ,          ,          в) .

Решение.

Можно сделать вывод, что над выражениями с векторами можно выполнять все те же преобразования, что и над алгебраическими выражениями.

Итоги урока

На этом уроке мы подробно рассмотрели тему «действия над векторами». Вспомнили, как выполняют сложение векторов. Назвали законы сложения векторов. Поговорили о разности векторов. А затем вспомнили, как выполняется умножение вектора на число.