Меню
Видеоучебник

Понятие вектора

Урок 46. Подготовка к ОГЭ по математике 9 класс

На этом уроке мы поговорим о векторах на плоскости. Вспомним, что называют вектором. Поговорим о коллинеарных векторах. А также вспомним, как откладывать вектор от данной точки.

Конспект урока "Понятие вектора"

Вопросы занятия:

·  поговорить о векторах на плоскости;

·  вспомнить, что называют вектором;

·  поговорить о коллинеарных векторах;

·  вспомнить, как откладывать вектор от данной точки.

Материал урока

Начнём с геометрического понятия вектора. Рассмотрим произвольный отрезок АВ. Точки А и В называют его концами или граничными точками.

На данном отрезке можно указать два направления: от точки В к точке А и наоборот, от точки А к В. Чтобы выбрать только одно направление, назовём одну граничную точку началом отрезка, а другую — концом отрезка. Будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.

Определение.

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом, называется направленным отрезком или вектором.

На рисунках вектор изображают в виде отрезка со стрелкой, показывающей направление вектора. Обозначают вектор двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например, так

При этом первая буква обозначает начало вектора, а вторая — конец.

Вот, например, на экране изображены векторы:

Давайте назовём их.

Понятно, что первый вектор называется , второй –  и третий .

Кстати, вектора иногда называют одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней. Например, , , .

Условимся любую точку плоскости также считать вектором. Напомним, что такие векторы называют нулевыми. Начало нулевого вектора совпадает с его концом. Тогда нулевой вектор обозначенный точкой М будет иметь название . Нулевой вектор можно обозначить ещё и таким символом .

Длиной ненулевого вектора  называется длина отрезка АВ. Длину вектора  обозначают так:

Можно говорить «модуль вектора ».

Находя длину вектора, мы не учитываем его направление. Длина любого нулевого вектора равна .

Задание.

Указать длину векторов, изображённых на экране (каждая клетка на рисунке имеет сторону длиной в 1 см).

Тогда получаем,

 см,  см,  см,  см.

Задание.

В треугольнике  стороны ,  и  равны ,  и  см соответственно. Точки ,  и  — середины сторон ,  и  треугольника.

Найдите длины векторов: , , , , ,  и .

Решение.

Теперь давайте вспомним, какие векторы называются коллинеарными.

Определение.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых.

Вообще, нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Задание.

Указать коллинеарные векторы.

Решение.

Рассмотрим два коллинеарных вектора  и .

Они одинаково направлены. А вот коллинеарные векторы  и  противоположно направлены.

Напомним, что в первом случае векторы называют сонаправленными и обозначают их таким знаком:

А во втором — противоположно направленными, их обозначают таким знаком:

Если говорить о нулевом векторе, то стоит вспомнить, что его начало совпадает с концом. Поэтому он не имеет какого-то определённого направления. Другими словами, любое направление можно считать направлением нулевого вектора. Поэтому нулевой вектор будет сонаправлен с любым вектором.

Например, векторы .

Для ненулевых коллинеарных векторов можно выделить следующие свойства.

Если вектор , а вектор , то сонаправленными будут векторы .

Если вектор  и вектор , то векторы .

Если вектор , а вектор , то векторы .

Определение.

Если векторы сонаправлены  и их длины равны , то такие векторы называют равными.

Равенство векторов обозначают так:

Задание.

Выписать пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами:

а) ;                                         б) квадрата .

Изобразим треугольник .

Никакие из его сторон не параллельны. Но коллинеарными будут векторы, лежащие на одной стороне:

В следующем пункте изобразим квадрат .

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Рассмотрим параллельные стороны  и . Можем записать такие пары коллинеарных векторов:

Рассмотрим параллельные стороны  и . Можно записать следующие пары коллинеарных векторов:

Также коллинеарными будут векторы, лежащие на одной прямой:

Получили 12 пар коллинеарных векторов.

Задание.

Диагонали параллелограмма  пересекаются в точке . Равны ли векторы:  и ,  и ,  и ,  и ?

Решение.

Напомним, что если точка  является началом вектора , то говорят, что вектор  отложен от точки .

Имеет место следующее утверждение.

От любой точки  можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один.

Докажем данное утверждение.

Рассмотрим два случая. Если , то искомым, равным ему, вектором будет вектор .

Если же вектор  ненулевой, а точки  и  — его начало и конец, то через точку  проведём прямую  параллельную .

Перед нами стояла задача отложит вектор, равный вектору . Таким вектором будет вектор . Ведь он сонаправлен вектору  и их длины равны.

Из построения видно, что такой вектор только один.

Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Поэтому вектор  можно обозначить как вектор . Про такие векторы можно сказать, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек.

Задание.

Отложить векторы, равные ненулевому вектору , от каждой из вершин .

Для этого через каждую вершину проведём прямые параллельные вектору .

По каждую сторону от точек ,  и  на этих прямых отложим отрезки равные длине вектора .

Таким образом получим по два вектора у каждой из вершин.

Но один из них будет сонаправлен вектору , а другой — противоположно направлен. Нам подойдут вектора сонаправленные вектору . Так мы отложили от каждой вершины треугольника  векторы, равные вектору .

Итоги урока

На этом уроке мы говорили о векторах на плоскости. Вспомнили, что называют вектором. Поговорили о коллинеарных векторах. А также вспомнили, как откладывать вектор от данной точки.

 

 

0
1253

Комментарии 0

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или на сайт

Вы смотрели