Элементы теории вероятностей

Вопросы занятия:

·  вспомнить, что изучает теория вероятностей;

·  поговорить об относительной частоте случайного события;

·  вспомнить, как её вычислять;

·  поговорить о равновозможных событиях;

·  вспомнить правило нахождения вероятности равновозможных событий;

·  вспомнить, какие события называют достоверными, а какие невозможными.

Материал урока

В повседневной жизни, в практической и научной деятельности часто наблюдают те или иные явления, проводят определённые эксперименты. В процессе наблюдения или эксперимента приходится встречаться с некоторыми случайными событиями.

Понятно, что случайные события – это те события, которые могут произойти, а могут и не произойти.

Примерами таких событий являются: выпадение орла или решки при подбрасывании монеты; поражение мишени или промах при стрельбе; выпадение того или иного количества очков при бросании игрального кубика.

Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.

Зарождение теории вероятностей произошло в поисках ответа на вопрос: как часто наступает то или иное событие в большой серии происходящих в одинаковых условиях испытаний со случайными исходами?

Основными понятиями в теории вероятностей являются испытание, событие и вероятность.

Определение.

Испытание – это эксперимент, проводимый над объектом в комплексе определённых условий.

Событие – это случай или факт, который произошёл или не произошёл в результате испытания.

Вероятность – это численная мера степени объективной возможности наступления события.

Рассмотрим пример. Провели такие испытания: 100 раз бросали игральный кубик. И наблюдали, сколько раз на верхней грани кубика выпадет 6 очков.

Понятно, что при бросании игрального кубика на его верхней грани может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждое из этих шести событий, или шести исходов испытания, является случайным.

Допустим, что в данной серии экспериментов «6», т.е. 6 очков выпало 17 раз. Говорят, что частота рассматриваемого события, то есть выпадения 6 очков равна 17. А отношение частоты к общему числу испытаний, равное , называют относительной частотой этого события.

Вообще пусть некоторое испытание проводилось многократно в одних и тех же условиях. При этом фиксировалось, произошло или нет некоторое интересующее нас событие А. Если общее число испытаний равно , а число испытаний, при которых произошло событие А, равно . То  называют частотой события А, частное  и  — относительной частотой.

Определение.

Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу всех испытаний.

В ходе исследований выяснилось, что относительная частота появления ожидаемого события при повторении опытов в одних и тех же условиях, может оставаться примерно одинаковой, незначительно отличаясь от некоторого числа .

Рассмотрим такой пример. При подбрасывании монеты отмечают те случаи, когда выпадает орёл. Если монета однородна и имеет правильную геометрическую форму, то шансы выпадения орла или решки будут примерно одинаковы.

Но при небольшом количестве бросков такой результат может не получиться.

А вот если испытание проводится большое количество раз, то относительная частота выпадения орла близка к относительной частоте выпадения решки.

Многие учёные проводили такой эксперимент. Так, например, английский математик Карл Пирсон бросал монету 24 000 раз, и относительная частота выпадения орла оказалось равной . А наш соотечественник, Всеволод Иванович Романовский, подбрасывая монету 80 640 раз, нашёл, что относительная частота выпадения орла в его испытании была равна .

Не трудно заметить, что в обоих случаях относительная частота выпадения орла очень близка к . Говорят, что вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты правильной геометрической формы равна .

Вообще если в длинной серии одинаковых экспериментов со случайными исходами значения относительных частот появления одного и того же события близки к некоторому определённому числу, то это число принимают за вероятность данного случайного события. Такой подход к вычислению вероятностей называют статистическим подходом.

Решим несколько задач на вычисление вероятности того или иного события.

Задача.

В непрозрачном мешке лежат 7 красных и 12 жёлтых шаров. За раз можно достать только один из них. Какова вероятность того, что из мешка достанут жёлтый шар?

Итак, напомним, что относительной частотой события называют отношение испытаний, в которых произошло данное событие, к общему числу испытаний.

Всего в мешке  шаров. Значит, общее число испытаний равно . Жёлтый шар мы можем достать 12 раз. Получаем, что вероятность или частота этого события равна . Относительная частота равна частному этих значений.

Вероятность того, что из мешка достанут жёлтый шар, равна .

Задача.

Отмечая число попаданий в корзину в каждой серии из 40 бросков, которые совершал баскетболист, получили такие данные:

, , , ,

Какова относительная частота попадания мяча в корзину для данного баскетболиста?

Для начала определим общее число бросков. Было 5 серий по 40 бросков. Всего их было сделано  бросков.

Теперь сосчитаем число попаданий в корзину. Оно равно .

Относительная частота попадания в корзину будет равна частному

Задача.

Стрелок совершил 50 выстрелов. Относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,88. Сколько раз он промахнулся?

Итак, нам известно общее число выстрелов и относительная вероятность попадания. Зная эти величины, можем найти число попаданий в цель. Оно равно . Стрелок попал в цель 44 раза.

Найдём число промахов: . Стрелок промахнулся 6 раз.

Вернёмся к эксперименту с подбрасыванием монеты. Мы уже отмечали, что многие учёные проводили данный эксперимент и получали различные, но очень близкие значения. Если монета однородна и имеет правильную геометрическую форму, то можно сделать вывод, что случаи выпадения орла или решки имеют одинаковые шансы. Такие события называют равновозможными.

Вообще исходы в определённом опыте или наблюдении считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы. Исходы, при которых происходит некоторое событие, называются благоприятными исходами для этого события.

Найдём вероятность события «выпадение орла». Всего при подбрасывании монеты могут быть 2 равновозможных исхода: выпадет орёл или выпадет решка. Для нас благоприятным событием является первое. Среди всех возможных оно встречается 1 раз. Тогда получаем, что относительная вероятность выпадения орла .

Обозначение «» происходит от французского слова probabilite, что означает «вероятность».

Если все исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов. Такой способ отыскания относительной вероятности называется классическим. Но полученное значение вероятности совсем не означает, что если подбросить монету 2 раза, то 1 раз выпадет орёл.

Можем сделать вывод, что статистический подход предполагает проведение испытаний, а классический — нет.

Чтобы вычислить вероятность события классическим способом необходимо только правильно определить количество всех равновозможных исходов, а также число благоприятных для этого события исходов.

Задача.

Студент не выучил 3 билета из 30. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен?

Мы ищем вероятность события А «успешная сдача экзамена». Определим число равновозможных исходов. Студент может вытянуть на экзамене любой из 30 билетов. Благоприятным будет исход, когда попадётся билет, который он выучил. Таких билетов .

Значит, вероятность того, что он сдаст экзамен, равна

Задача.

На полке 14 книг, из них 6 — это учебники. С полки наугад снимают 8 книг. Какова вероятность того, что среди них будут 4 учебника?

Итак, рассмотрим событие В: среди 8 снятых книг 4 учебника. Определим число равновозможных исходов. Оно равно числу сочетаний . Теперь поговорим о благоприятных исходах. Такими будут те наборы из 8 книг, в которых 4 учебника.

Найдём число таких исходов.

А теперь давайте вспомним понятия достоверного и невозможного событий.

Определение.

Событие, которое при проведении опыта или наблюдения происходит всегда, называют достоверным событием.

А событие, которое при проведении опыта или наблюдения не происходит никогда, называют невозможным.

Например, рассмотрим такое событие С: при бросании игрального кубика выпадает менее семи очков. Найдём вероятность этого события.

Всего возможно 6 исходов: выпадет 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. И наше событие С всегда в каждом из этих случаев будет происходить. Значит, оно достоверное.

Следовательно, все эти исходы являются благоприятными (менее семи очков). Тогда вероятность события С равна . И вероятность достоверного события равна .

А теперь рассмотрим событие D: при бросании игрального кубика выпадает 7 очков.

Число всех равновозможных исходов равно 6. Но ни один из них не является благоприятным. Можем сказать, что наше событие невозможное. Оно не может произойти ни при каком из исходов.

Вероятность невозможного события равна .

Итоги урока

На этом уроке мы рассмотрели тему «элементы теории вероятностей». Вспомнили, что изучает теория вероятностей. Поговорили об относительной частоте случайного события. Вспомнили, как её вычислять. Затем поговорили о равновозможных событиях. Вспомнили правило нахождения вероятности равновозможных событий. И затем мы вспомнили, какие события называют достоверными, а какие невозможными.