Координатная плоскость

В повседневной жизни вы могли слышать такую фразу: «Оставьте мне ваши координаты!».

Как вы понимаете эту фразу?

Это выражение означает, что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона, т.е. данные, по которым его можно найти.

Определение

Числа, с помощью которых указывают, где находится некоторый объект, называют его координатами.

С координатами вы уже не раз встречались и в математике. Вы умеете выполнять две операции: отмечать на координатной прямой точку с заданной координатой и, наоборот, определять координату заданной точки. Для этого на прямой выбирают начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок. После этого любая точка прямой получает свою собственную координату. 

Координата точки указывает, таким образом, её место на координатной прямой.

Возникает вопрос: а можно ли определить местоположение точки на плоскости?

Наверняка, хоть раз в жизни вы играли в такую игру как «Морской бой».

Поле этой игры состоит из квадрата размерами 10 на 10 клеточек. В этом поле изображаются корабли: 1 четырёхклеточный, 2 трёхклеточных, 3 двухклеточных и 4 одноклеточных. При этом между любыми двумя соседними кораблями должен оставаться промежуток не меньше одной клетки.

На экране изображён один из вариантов расположения кораблей. Каждая клеточка квадрата обозначается парой: (буква –число), указанных вдоль нижней и левой сторон квадрата. Например, корабль расположен в клетке (Ж; 4). Суть этой игры найти все корабли соперника первым. При обозначении положения клетки первой указывают её горизонтальную координату, а второй – вертикальную.

Именно в этом и состоит суть координат или, как обычно говорят, системы координат: это правило, по которому определяется положение того или иного объекта.

Системы координат встречаются в нашей жизни постоянно.

Вы знакомы с системой координат в зрительном зале кинотеатра (номер ряда и номер места), в поезде (номер вагона и номер места), с системой географических координат (долгота и широта).

Что нужно знать для того, чтобы найти своё место в кинотеатре? Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя числами: первым числом обозначают номер ряда, а вторым – номер кресла в этом ряду. Значит, чтобы правильно занять своё место в зрительном зале необходимо знать две координаты: ряд и место.

Например, в билете указаны: 3 ряд 2 место. Посмотрите где это место расположено.

Обратите внимание, что при определении местоположения нам необходимо знать две характеристики или два значения.

Подобным образом можно обозначить и положение точки на плоскости.

Рене Декарт –  французский математик ввёл в 1637 году систему координат, которая используется во всем мире и известна каждому школьнику. Её называют также «Декартова система координат».

Чтобы задать декартову прямоугольную систему координат на плоскости проводят две взаимно перпендикулярные координатные прямые х и у, называемые координатными осями.

Точка пересечения осей – «O» называется началом координат.

На каждой оси ОX и ОY задаётся положительное направление и выбирается единичный отрезок.

Каждая из координатных осей имеет своё название: горизонтальную ось называют осью абсцисс (или осью х), вертикальную ось называют осью ординат (или осью у). Эти прямые составляют систему координат на плоскости.

Определение

Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью.

Оси разбивают координатную плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями. Их нумеруют римскими цифрами и против часовой стрелки.

Говорят: первая четверть, вторая четверть, третья четверть и четвертая четверть.

Каждая точка такой плоскости имеет две координаты.

Рассмотрим, как определяется положение точки на координатной плоскости.

Например, у нас есть точка М. И нужно определить её координаты. Для этого проведём перпендикуляр из этой точки на горизонтальную ось или ось абсцисс.

Точка пересечения с осью х называется абсциссой точки М.

В нашем случае, абсцисса точки М 3.

Далее, из этой же точки проведём перпендикуляр до пересечения с вертикальной осью, или осью ординат.

Точка пересечения с осью у называется ординатой точки М.

В нашем случае, ордината точки М 5.

Абсцисса и ордината точки М называются координатами этой точки. Их принято записывать рядом с буквой, обозначающей точку, в круглых скобках. Причем, на первом месте всегда пишется абсцисса, а на втором – ордината.

Читают эту запись так: «точка М с абсциссой 3 и ординатой 5», или «точка М с координатами 3 и 5». Обратите внимание, если переставить координаты местами, то получится совсем другая точка. Например, точка N (5; 3).

Определение

Координаты точки (х;у) на плоскости – это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса (х), а на втором – ордината (у) этой точки.

Сделаем вывод: координаты можно указать для любой точки координатной плоскости: для этого надо из точки провести перпендикуляры на координатные оси и определить, какому числу координатной оси  соответствует основание перпендикуляра.

Точки любой прямой, перпендикулярной оси абсцисс, имеют одну и ту же абсциссу.

Например, все точки прямой а имеют абсциссу 4. Все точки оси ординат имеют абсциссу 0, т.е. координаты любой точки оси ординат имеют вид (0; у).

Точки любой прямой, перпендикулярной оси ординат, имеют одну и ту же ординату.

Например, все точки прямой b имеют ординату -3. Все точки оси абсцисс имеют ординату 0, т.е. координаты любой точки оси абсцисс имеют вид (х; 0).

Начало координат – точка О – лежит и на оси абсцисс, и на оси ординат. Значит, её координаты (0; 0).

Построить точку по её координатам можно несколькими способами.

Например, построим точку А (-5; 7).

Первый способ: на оси х находим  абсциссу точки А. Она у нас равна -5. Проводим перпендикуляр из этой точки относительно оси ОХ. Далее, на оси у, найдём ординату точки. Она равна 7. Проводим перпендикуляр из этой точки относительно оси ОУ. Точка, где пересеклись оба перпендикуляра, и есть искомая точка А.

Второй способ построения точки по заданным координатам. Можно сместиться по оси ОХ влево на 5 единиц, т.к. абсцисса точки – отрицательное число. А затем, параллельно оси ОX  вверх на 7 единиц, т.к. ордината точки положительное число. Точка, где пересеклись оба перпендикуляра, и есть искомая точка А.

Сделаем ещё один очень важный вывод:

Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел: её абсцисса и ордината. Наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Задание

Построите на координатной плоскости точки, а затем последовательно соедините их отрезками.

Какая фигура у нас получилась в итоге? Правильно! Это котик!!!