Призма

На этом уроке мы узнаем, какую геометрическую фигуру называют призмой. Рассмотрим, как ее можно построить. Дадим определение n-угольной призмы. Рассмотрим понятие перпендикулярности прямой и плоскости. Дадим определение прямой и наклонной призме. А также, узнаем, что такое высота призмы.

Мы с вами начали изучать многогранники. Напомню, что многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости.

Призма – это один из видов многогранника. Можно привести много примеров призмы из реальной жизни. Это и многогранный карандаш, гайка, коробка,  холодильник и многое другое.

Частные случаи призмы мы уже рассматривали ранее – это прямоугольный параллелепипед и куб.

Давайте рассмотрим, как можно построить многогранник, называемый призмой.

Итак, пусть есть две параллельные плоскости α и β. Параллельными называют плоскости, которые не имеют общих точек. Теперь в плоскости α возьмем какой-нибудь произвольный многоугольник A₁A₂..A_n, а в плоскости β – равный ему многоугольник B₁B₂…B_n. Причем так, чтобы равные стороны этих многоугольников, т.е. ,  , … , .

Замечание. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Например, есть какая-то плоскость, в которой лежат прямые A₁A₂ и B₁B₂ и эти прямые в плоскости параллельны, т.е. не пересекаются.

Теперь проведем отрезки A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃…A_nB_n. В итоге, получим n четырехугольников ,  , … , .

Указанные четырехугольники являются параллелограммами.

Рассмотрим например, четырехугольник .

,  – по построению.

Следовательно, , .

Значит,  – параллелограмм.

Построенный многогранник , называется n-угольной призмой.

Oпределение. n-угольной призмой называется многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы.

Равные n-угольники называются основаниями призмы. Параллелограммы – боковыми гранями призмы. А стороны боковых граней, не являющиеся сторонами оснований призмы, называются боковыми ребрами призмы.

На рисунке,  – n-угольная призма. A1A2… и B1B2…Bn – основания призмы, параллелограммы A₁A₂B₂B₁…A_nA₁B₁B_n – боковые грани. А стороны A₁B₁…A_nB_n – боковые ребра призмы. Все они равны и параллельны друг другу, как стороны параллелограммов.

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, например, B₁A₃, называется диагональю призмы.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью призмы, а объединение всех граней называется полной поверхностью призмы. Тогда площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней. А площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

Призма в зависимости от того какой многоугольник лежит в основании имеет свое название. Если в основании лежит треугольник, то призма называется треугольной. Если четырехугольник – то четырехугольной призмой. А если n-угольник, то n-угольной призмой.

Теперь узнаем, что называют высотой призмы. Выберем произвольную точку А одного из оснований и проведем через нее прямую, перпендикулярную к плоскости другого основания и пересекающую ее в точке B. Отрезок, АB называется высотой призмы.

Для того чтобы дать определение высоте призмы, необходимо ввести понятие перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим плоскость α.  Прямая а, пересекающая плоскость α в некоторой точке М, называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α и проходящей через точку М.

Перпендикулярность прямой а и плоскости α обозначается так: . Говорят, «прямая а перпендикулярна плоскости α».

Определение. Высота призмы – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.

В зависимости от того перпендикулярны ли ребра основанию, призмы можно подразделить на прямые и наклонные.

Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой. Если же боковые ребра не перпендикулярны основанию, то призма называется наклонной. На рисунке изображены примеры прямой и наклонной призм.

Обратите внимание, у прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками. А у наклонной призмы – параллелограммы.

Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной.

Задание. Укажите, какая из призм является пятиугольной? Какая из призм является правильной? Какой многоугольник лежит в ее основании?

Решение.

Итак, напомню, что призма в зависимости от того какой многоугольник лежит в основании имеет свое название. Так как нам нужно определить именно пятиугольную призму, значит, в ее основании должен лежать пятиугольник. Из указанных призм, подойдем вторая. В ее основании лежит пятиугольник.

Теперь нужно определить правильную призму. Напомню, что прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной. В основании первой призмы лежит квадрат. Квадрат – это правильный многоугольник. Следовательно, первая призма правильная.

Ответ: б) пятиугольная призма; а) правильная призма.

 «Призма» переводится с древнегреческого πρίσμα – «обрезок».  

С призмой связан такой удивительный по красоте известный феномен природы, как радуга. Известно, что солнечный свет или обычный луч белого света в действительности является сочетанием семи цветов. Это доказал еще в 1666 году Исаак Ньютон. Он писал: «Я затемнил мою комнату и сделал очень маленькое отверстие в ставне для пропуска солнечного цвета. На пути солнечного луча я поставил особое трехгранное стеклышко – призму. На противоположной стене я увидел разноцветную полоску – спектр». Ньютон объяснил это тем, что призма разложила белый свет на составляющие его цвета. Таким образом, Ньютон первый разгадал, что солнечный луч многоцветный.

Что касается радуги, то миллиарды мельчайших дождевых капелек работают как маленькие призмы.

Призмы используются в различных станках и механизмах, в строительстве. В оптике имеется большое количество именных призм: призма Броунинга-Резерфорда, призма Амичи, призма Аббе, призма Лемана, призма Фуко и еще два десятка других специальных призм.

Подведем итоги урока.

На этом уроке мы познакомились с призмой. Узнали, что n-угольной призмой называется многогранник, у которого две грани – равные н-угольники, а остальные эн граней – параллелограммы.

Равные н-угольники называются основаниями призмы. Параллелограммы – боковыми гранями призмы. А стороны боковых граней, не являющиеся сторонами оснований призмы, называются боковыми ребрами призмы.

Призма в зависимости от того какой многоугольник лежит в основании имеет свое название: например, треугольная призма, четырехугольная призма, н-угольная призма.

Ввели понятие высоты призмы. Высота призмы – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.

А также узнали, какие призмы называют прямыми, а какие – наклонными.