Применение производной для исследования функций на монотонность

Вопросы занятия:

·     рассмотреть исследование функции на монотонность с помощью производных.

Материал урока.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, выполните упражнение.

Упражнение.

Давайте изобразим график произвольной возрастающей дифференцируемой функции y = f(x). Возьмём на графике произвольно две точки и проведём касательные к графику функции в точках x₁ и x₂. Теперь рассмотрим эти касательные подробнее. Касательная, проведённая в точке x₁ с положительным направлением оси Ox образует острый угол, то есть тангенс этого угла больше нуля. Это значит, что угловой коэффициент этой касательной – положительный. А мы помним, что угловой коэффициент касательной – это ни что иное, как значение производной функции f(x) в точке x₁. Можно записать, что f'(x₁) > 0.

Теперь рассмотрим касательную к графику функции в точке x₂. Эта касательная также образует острый угол с положительным направлением оси Ox, то есть проведя аналогичные рассуждения можно записать, что f'(x₂) > 0. В точке x = 0 касательная совпала с осью Ox, в этой точке выполняется равенство f'(x₂) = 0.

Если мы с вами будем продолжать брать точки на графике функции и проводить в них касательные, то угловые коэффициенты всех касательных будут больше либо равны нуля. То есть для возрастающей функции в любой точке выполняется неравенство f'(x) ≥ 0.

Давайте теперь рассмотрим график убывающей дифференцируемой функции. Возьмём две произвольные точки на этом графике и проведём касательные к графику функций в этих точках. И рассмотрим угловые коэффициенты этих касательных. Касательные с положительным направлением оси Ox образуют тупые углы, то есть тангенсы этих углов меньше нуля, значит, f'(x) < 0. Это неравенство выполняется для всех точек данного графика за исключением тех, касательные в которых параллельны оси Ox (в этих случаях f'(x) = 0). Обобщая можно сказать, что в любой точке графика убывающей функции выполняется неравенство f'(x) ≤ 0.

Из рассмотренных случаев можно вывести закономерность: если функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неотрицательна; если функция убывает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неположительна.

Верны и обратные утверждения. Мы сформулируем их в виде теорем. Обратите внимание, что мы рассматриваем только открытые промежутки, то есть интервалы или открытые лучи. Это делается потому, что некорректно ставить вопрос о производной в концах промежутков.

Итак, сформулируем теоремы. Доказывать мы их не будем.

Теорема 1.

Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≥ 0 (причём, f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция y = f(x) возрастает на промежутке X.

Теорема 2.

Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≤ 0 (причём, f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция y = f(x) убывает на промежутке X.

Давайте рассмотрим физическое истолкование теорем.

Пусть колобок убегает от пенька, на котором сидит зайчик. Пенёк возьмём за начало отсчёта, и пусть расстояние от пенька до колобка задано функцией S = S (t). Если скорость колобка положительна, то очевидно, что он будет двигаться от пенька, то есть расстояние между пеньком и колобком будет увеличиваться. Математически можно сказать, что функция S (t) будет возрастать. Если в какой-то момент скорость колобка станет равна нулю, а потом опять станет положительной, то он в указанный момент как бы притормаживает, а потом продолжает удаляться от пенька. Если же в некоторый момент времени он увидит, что заяц убежал, и решит вернуться к пеньку, то его скорость относительно пенька станет отрицательной и, соответственно расстояние между пеньком и колобком будет уменьшаться. Математически можно сказать, что функция S (t) будет убывать. В данном случае колобка будем рассматривать как материальную точку.

А что такое скорость материальной точки? Это производная пути по времени. То есть от знака производной (в нашем случае скорости) зависит характер монотонности функции – в данном случае функции S = S (t). В этом и заключается суть теорем.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Мы с вами рассмотрели случай, когда на промежутке X производная больше либо меньше нуля. А что делать, если на всем промежутке X производная равна нулю? Тогда речь идёт о функции y = C, где C – постоянная. Таким образом можно сформулировать ещё одну теорему, которую мы тоже не будем доказывать.

Теорема 3.

Если во всех точках открытого промежутка X выполняется равенство f'(x) = 0, то функция y = f(x) постоянна на промежутке X.

Давайте ещё раз повторим основные теоремы, показывающие зависимость промежутков монотонности функции от знака производной.

Теорема 1.

Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≥ 0 (причём, f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция y = f(x) возрастает на промежутке X.

Теорема 2.

Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≤ 0 (причём, f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция y = f(x) убывает на промежутке X.

Теорема 3.

Если во всех точках открытого промежутка X выполняется равенство f'(x) = 0, то функция y = f(x) постоянна на промежутке X.