Уравнение касательной к графику функции

Вопросы занятия:

·     рассмотреть касательную к графику функции в точке;

·     вывести уравнение касательной к графику функции в общем виде.

Материал урока.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте выполним упражнение.

Упражнение.

Итак, мы с вами научились находить производные различных функций. На предыдущих уроках мы говорили, что умение находить производные – помогает в решении разных задач. На сегодняшнем уроке мы разберём, как с помощью производных можно составить уравнение касательной к графику функции и примеры применения производной к приближенным вычислениям.

Давайте сформулируем задачу.

Напомним, что если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, то функция дифференцируема в этой точке и f'(a) существует.

Касательная – это прямая, значит, общее уравнение касательной можно записать в виде y = kx + m. Наша задача сводится к нахождению коэффициентов k и m.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Решая примеры, мы выполняли практически одни и те же действия. Давайте теперь попробуем сформулировать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x).

Уравнение касательной имеет ещё одно применение: с его помощью можно выполнять приближенные вычисления.

Рассмотрим общий приём.

Рассмотрим это на примере.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Итак, давайте ещё раз выделим суть теории приближенных вычислений. Сложная кривая в окрестности точки x₀ заменяется прямой (касательной к графику функции) и если приращения аргумента не велики, то для каждой функции можно вывести соответствующую формулу, по которой осуществляются приближенные вычисления.