Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

На прошлых уроках мы вплотную подошли к тому, что макроскопические параметры газа зависят от микроскопических. Мы убедились, что скорость движения молекул связана с давлением газа. На сегодняшнем уроке мы выведем зависимость давления газа от средней кинетической энергии его молекул.

Для начала рассмотрим движение одной молекулы в плоскости икс у.

Пусть эта молекула обладает начальной скоростью 𝑣₀ и, ударяясь о стенку сосуда, отлетает со скоростью 𝑣. Очевидно, что при данном соударении, проекция скорости на ось у не меняется: ∆𝑣_𝑦 = 0. И мы также знаем, что при ударе не меняется модуль скорости молекул: 𝑣₀ = 𝑣.

Таким образом,

Согласно второму закону Ньютона, сила, с которой стенка сосуда подействовала на молекулу, равна отношению изменения импульса молекулы к промежутку времени, за который это изменение произошло. Используя третий закон Ньютона, мы можем заключить, что молекула подействовала на стенку сосуда с той же по модулю силой:

Теперь необходимо учесть, что молекул в сосуде много. За определенный промежуток времени о стенку сосуда ударятся только те молекулы, которые успеют за это время долететь до стенки. Обозначим за N₀ общее число молекул, находящихся в сосуде. Вследствие хаотического движения, только половина молекул будет иметь скорость, направленную к стенке сосуда. То есть количество молекул, летящих по направлению к стенке сосуда, будет равно N₀/2. Число молекул в сосуде мы можем выразить, как

Очевидно, что успеют долететь только молекулы, которые будут находиться на расстоянии

 Тогда объём: 𝑉=𝑆𝑙.

В выражение, описывающее число молекул, которые ударяться о стенку мы можем подставить объём. В свою очередь, в выражение для объёма, мы подставляем значение l:

Таким образом, мы получили выражение, описывающее число молекул, ударившихся о стенку сосуда в течение промежутка времени. Это число молекул мы умножаем на силу, с которой одна молекула ударяется о стенку сосуда, чтобы найти общую силу, с которой молекулы газа действовали на стенку сосуда в течение данного промежутка времени:

Вспомним теперь, что давление определяется как сила, действующая на единицу площади:

 Необходимо учесть, что не все молекулы двигаются с одинаковыми скоростями, поэтому при расчетах следует использовать среднее значение квадрата проекции скорости на ось икс:

Из предыдущих уроков мы помним, что

Таким образом,

Это и есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Обратите внимание, что в этом уравнении давление и концентрация — это макропараметры газа, а масса молекулы и средняя квадратичная скорость — это микропараметры газа.

Как вы уже знаете, произведение массы и квадрата скорости пропорционально кинетической энергии. Поскольку в нашей формуле мы используем среднее значение квадрата скорости, мы можем получить ещё одно уравнение, связывающее давление газа со средней кинетической энергией его молекул:

Как видно из этой формулы, давление газа прямо пропорционально концентрации и средней кинетической энергии молекул. Действительно, чем большее число молекул заключено в единице объёма и чем быстрее они двигаются, тем большее давление оказывает газ на стенки сосуда.

Пример решения задачи.

Задача. Азот, плотность которого равна 1,3 кг/м³ при данном давлении, поместили в колбу. Определите давление азота на стенки колбы, если средняя кинетическая энергия его молекул составляет 35 х 10^–22 Дж.