Идеальный газ в молекулярно-кинетической теории. Среднее значение квадрата скорости молекул

Газов в природе существует великое множество, и все они имеют определенные отличительные свойства. Но для исследований необходимо ввести некую идеализированную модель, которая так и называется: идеальный газ. Впервые ввести модель идеального газа предложил Михаил Ломоносов. Большой вклад в создание такой модели, как идеальный газ, внес Джеймс Джоуль, но все же, основной труд принадлежит Рудольфу Клаузиусу. Именно Клаузиус ввел модель идеального газа в 1857 году.

Итак, идеальный газ — это модель реального газа, взаимодействие между молекулами которого, пренебрежимо мало.

Упоминая об идеальном газе, мы предполагаем следующее:

·                   Молекулы газа очень малы и представляют собой упругие шарики.

·                   Молекулы этого газа двигаются беспорядочно.

·                   Взаимодействия между молекулами газа происходят только при соударениях, а соударения считаются абсолютно упругими.

Конечно, такого газа в природе не существует. Однако данная модель очень хорошо подходит для исследования тех свойств газов, которые мы будем рассматривать в дальнейшем. Надо сказать, что разряжённый водород, практически полностью соответствует модели идеального газа. Впрочем, при привычных нам температурах, таких, как комнатная температура, например, модель идеального газа достаточно хорошо описывает реальные газы, такие, как воздух.

Рассмотрим давление газа на стенки закрытого сосуда. Как вы знаете, давление газа возникает в результате соударений молекул газа со стенками сосуда. Прибор, измеряющий давление, называется манометр.

Манометр

Конечно, манометр не может улавливать силу удара отдельных молекул. Манометр регистрирует среднюю по времени силу, которая действует на единицу площади поверхности. Если мы построим график зависимости давления от времени, то убедимся, что давление постоянно меняется.

Однако наблюдаются не хаотичные скачки давления, а сравнительно небольшие колебания вокруг какого-то среднего значения. Поэтому, давление оказывается вполне определенной величиной. В одном из предыдущих уроков мы убедились, что газы легко сжимаются, но при этом повышается давление. Теперь мы можем в этом ещё раз убедиться: очевидно, что если газ поместить в меньший объём, то количество соударений в единицу времени увеличится. Это увеличит среднюю силу, а, значит, давление тоже увеличится.

Но, чтобы вычислить среднее давление, необходимо знать среднюю скорость молекул. Точнее, как мы убедимся чуть позже, нам нужно знать значение не самой средней скорости, а квадрата средней скорости. Конечно же, проследить за всеми молекулами газа просто невозможно. Их очень много, все они движутся по хаотичной траектории, преодолевая несколько сотен метров в секунду. Но нас не интересует скорость отдельной молекулы. Нас интересует, к какому результату приводит движение всех молекул газа.

Приведем простой пример. Когда повар готовит ужин для большого количества людей, он не знает, кто сколько съест.

Но повар знает какое-то среднее количество еды, которое может съесть за ужином среднестатистический человек, и, исходя из этого, рассчитывает количество еды, которое необходимо приготовить.

Точно также, нам не надо знать скорости отдельных молекул. Нам необходимо знать какое-то среднее значение скорости, и, исходя из него, производить те или иные расчеты.

Обозначим скорости молекул за 𝑣₁,𝑣₂,…,𝑣_𝑛. Тогда среднее значение квадрата скорости будет вычисляться по формуле:

Напомним, что скорость — это векторная величина, а квадрат любого вектора равен сумме квадратов его проекций. Значит, среднее значение квадрата скорости будет равно сумме квадратов средних значений проекций скорости на координатные оси:

Разумеется, средние значения квадратов проекций на оси можно определить тем же способом:

Конечно, молекулы двигаются абсолютно беспорядочно, поэтому мы можем считать проекции на все три оси равноправными. То есть, мы справедливо можем предположить, что проекция на ось х равна проекциям на оси у и z. Таким образом, мы можем заключить, что среднее значение квадрата проекции скорости на любую ось равно одной третьей среднего значения квадрата самой скорости:

Напомним, что каждое тело, в частности газ, обладает макроскопическими и микроскопическими параметрами. К макроскопическим параметрам относятся давление, температура и объём. Как правило, именно с помощью макроскопических параметров мы характеризуем то или иное тело. Но макроскопические параметры зависят от микроскопических, таких, как масса, размеры и скорости молекул. В ближайшее время мы будем заниматься изучением того, как макроскопические параметры газа зависят от микроскопических.