Элементы статистики

Вопросы занятия:

·  вспомнить, что изучает статистика;

·  рассмотреть основные характеристики статистики;

·  вспомнить основные виды представлений данных.

Материал урока

И прежде, чем начнём говорить об элементах статистики, давайте вспомним, что же это за наука такая, статистика.

Итак, как вы уже знаете, статистика это один из разделов математики.

Само слово статистика происходит от латинского «status», означающего «состояние или положение дел/вещей».

Определение.

Статистика – это наука, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в обществе и природе.

На сегодняшний день статистика применяется практически во всех сферах общественной жизни, начиная от моды, кулинарии, садоводства и заканчивая астрономией, экономикой, медициной.

В общем, статистика помогает накапливать и анализировать информацию, делать выводы, планировать результат.

При проведении статистического исследования после сбора и группировки данных переходят к их анализу, используя для этого различные обобщающие показатели. К таким показателям относятся следующие основные статистические характеристики: среднее арифметическое, размах, мода, медиана, частота и относительная частота.

А теперь поговорим обо всем по порядку.

Итак, первая характеристика: среднее арифметическое.

Определение.

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Давайте рассмотрим пример.

Ежедневно в течение 10 дней в полдень измеряли температуру воздуха (в градусах Цельсия) и получили следующие данные: .

Пользуясь этим рядом, мы можем определить среднюю температуру воздуха, наблюдаемую в течение этих 10 дней.

Для этого сложим 10 указанных чисел и разделим сумму на 10 (то есть на количество слагаемых). Выполним вычисления и получим,

То есть средняя температура равна 25^оС.

Число 25 называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел.

Вторая характеристика: размах.

Определение.

Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Вернёмся к нашему примеру. Обратите внимание, что температура воздуха в некоторые дни существенно отличается от 25^оС (то есть от средней температуры). Так, самая высокая температура равна 30^о, а самая низкая – 19^о.

Найдём разность между наибольшим и наименьшим значениями и получим,

Говорят, что размах ряда равен 11.

Размах ряда находят, когда хотят узнать, насколько велик разброс данных в ряду. Так, в нашем примере размах ряда показывает колебание температуры воздуха в течение 10 дней.

Следующая характеристика: мода.

Определение.

Напомним, что модой ряда называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Рассматривая все тот же пример. Нас может заинтересовать вопрос: какая температура воздуха чаще всего устанавливалась за 10 дней? Заметим, что чаще всего в нашем ряду встречается число 25.

Это число и есть мода рассматриваемого ряда.

Стоит отметить, что ряд может иметь более одной моды.

Например, в следующем ряду две моды – числа 9 и 17, так как они встречаются по два раза, а остальные – по одному.

Также ряд может и не иметь моды.

Например, в данном ряду моды нет, так как каждое число встречается только один раз.

Моду ряда находят, когда хотят выяснить некоторый характерный показатель.

Например, удобно воспользоваться этим показателем при изучении спроса покупателей на мужскую обувь, чтобы определить какой размер самый популярный.

Четвёртая характеристика: медиана.

Определение.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине. А вот медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, расположенных посередине. Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Снова вернёмся к нашему примеру. Обратите внимание, что в этом ряду чётное количество чисел, и поэтому мы не можем выбрать одно число, расположенное в середине, и выберем два – 25 и 25.

Найдём среднее арифметическое этих чисел, то есть их сумму разделим на 2, и получим 25.

Т.е. медиана нашего ряда равна 25.

Для обобщения и систематизации данных, полученных в ходе статистического наблюдения, их по какому-либо признаку разбивают на группы и результаты, характеризующие каждую группу, сводят в таблицы.

Рассмотрим такой пример.

В конце учебного года провели контрольный срез по математике. По итогам проверки получили следующие результаты: «2» получили три ученика, «3» - шесть учеников, «4» - одиннадцать учеников и «5» - семь учеников.

Эти данные можно свести в таблицу.

Заметим, что в нижней строке таблицы указывается количество учеников, получивших ту или иную оценку. Или иными словами, указывается частота появления этого числа в общем ряду полученных оценок.

Напомним, что такую таблицу называют таблицей частот.

Давайте проведём анализ полученных данных.

Найдём сумму частот. Она равна

Вообще, если результат исследования представлен в виде таблицы частот, то сумма частот равна общему числу данных в ряду.

Найдём среднюю оценку, полученную за срез. Она находится, как среднее арифметическое ряда данных. Напомним, что средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. Тогда в нашем примере, мы должны общее число полученных оценок разделить на число учеников, выполнивших тест. Отсюда, средняя оценка равна

Значит, в среднем ученики за тест получили оценку 3,8, или примерно 4.

Наивысшая из оценок в указанном ряду является 5. А наименьшая – 2. Поскольку, размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. То, в нашем случае, размах ряда равен

Ещё одной из статистических характеристик является мода. Напомним, что модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других. Не трудно определить, что в нашем примере, мода равна 4.

Следующая характеристика, которую мы можем найти – это медиана. Напомним, что медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине. Поскольку у нас количество учащихся равно 27, а это нечётное число, то медианой будет 14-ый член ряда. Вычислим, к какой группе он относится. Суммируя последовательно частоты и сравнивая результат с числом 14, находим, что 14-ый член ряда попадает в ту группу, которую составляют учащиеся, получившие за тест «4».

Т.е. медиана ряда равна 4.

Иногда в таблице для каждого данного указывают не частоту, а отношение частоты к общему числу данных в ряду.

Это число, выраженное в процентах, называют относительной частотой, а саму таблицу – таблицей относительных частот.

Для нашего примера таблица относительных частот выглядит так:

Нетрудно убедиться, что в данном случае сумма относительных частот составляет 100%.

Вообще, сумма относительных частот, полученных в результате любого исследования, равна 100%.

Заметим, что если в ряду имеется большое число данных и одинаковые значения встречаются редко, то таблицы частот или относительных частот теряют наглядность и становятся излишне громоздкими. В таких случаях для анализа данных строят интервальный ряд. Для этого разность между наибольшим и наименьшим значениями делят на несколько равных частей и, округляя полученный результат, определяют длину интервала. За начало первого интервала часто выбирают наименьшее данное или ближайшее к нему целое число, не превосходящее его. Для каждого интервала указывают число данных попадающих в этот интервал. При этом граничное число считают относящимся к следующему интервалу.

Рассмотрим пример.

В магазине выясняли возраст потребителей йогурта. По результатам опроса 100 человек была составлена следующая таблица распределения потребителей йогурта по возрасту.

Пользуясь составленной таблицей, найдём средний возраст, потребителей йогурта. Для этого составим новую таблицу частот, заменив каждый интервал числом, которое является его серединой.

Для полученного ряда данных найдём среднее арифметическое. Получим, что средний возраст, человека потребляющего йогурт примерно равен

Умения работать со статистическим материалом, представленным в различной форме, необходимы каждому человеку, так как он постоянно встречается во всех источниках информации, рассчитанных на массовую аудиторию: в газетах, журналах, книгах, по телевидению и т. п.

Очень часто для наглядности данные представляют в виде диаграмм/графиков.

Давайте вспомним основные виды представлений данных.

Определение.

Диаграмма (от греческого diagramma, что значит «рисунок, чертёж») – графическое изображение, наглядно показывающее соотношение между различными величинами.

С диаграммами вы уже знакомы. Итак, какие же виды диаграмм вы знаете?

Первый вид: столбчатая диаграмма. Её используют тогда, когда хотят проиллюстрировать динамику изменения данных во времени или распределение данных, полученных в результате статистического исследования.

Рассмотрим пример.

В конце учебного года провели контрольный срез по математике. По итогам проверки получили следующие результаты:

Всю эту информацию можно собрать в таблице.

Также эти данные можно представить в виде столбчатой диаграммы. На вертикальной оси отметим количество учеников, получивших ту или иную оценку, а на горизонтальной оси – оценки. Тогда столбчатая диаграмма, по указанным данным, имеет следующий вид:

Она состоит из 4-ех прямоугольников. Напомним, что все прямоугольники в столбчатой диаграмме должны иметь одинаковую ширину, и быть расположены на равном расстоянии друг от друга.

Если в ходе статистического исследования проведена группировка одинаковых данных и для каждой группы указана соответствующая частота (или относительная частота), то каждая группа изображается на столбчатой диаграмме прямоугольником, высота которого при выбранном масштабе равна соответствующей частоте (или относительной частоте).

Второй вид: круговая диаграмма. Круговые диаграммы удобно использовать для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой совокупности.

Перед вами таблица, в которой указано соотношение распространённого цвета глаз по России.

По статистическим исследованиям в России самый распространённый цвет глаз это серый – им обладают 50% населения страны. Глаза болотного и карего цвета в сумме имеют – 25%. Голубые и синие глаза – 20%. Наиболее редкий цвет глаз - это зелёный – всего лишь 5% населения страны им обладают. Составим круговую диаграмму по указанным данным.

Для этого начертим круг. Так как градусная мера всего круга равна 360^о, то 1% соответствует центральный угол, равный 3,6^о.  Учитывая это, мы можем определить для каждой группы цвета глаз соответствующий центральный угол.

Тогда серому цвету глаз соответствует угол в , болотному и карему цветам глаз соответствует угол в , голубым и синим глазам  и зелёным глазам . Разбив круг на секторы, получим круговую диаграмму.

Следует заметить, что круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность лишь при небольшом числе частей совокупности. В противном случае её применение малоэффективно.

Если результат статистических исследований представлен в виде таблицы относительных частот, то для построения круговой диаграммы круг разбивается на секторы, центральные углы которых пропорциональны относительным частотам, определённым для каждой группы данных.

Следующий вид: полигон. С помощью полигона, или ещё его называют графиком часто иллюстрируют динамику изменения статистических данных во времени.

Вот, например, имеются данные по изменению среднемесячной температуры в период с апреля по ноябрь, включительно.

Построим полигон.

Для этого в координатной плоскости на оси абсцисс отметим месяцы, а на оси ординат – среднемесячную температуру. Отметим в координатной плоскости точки с соответствующими координатами. Соединив последовательно эти точки отрезками, получим ломанную, которую называют полигоном.

Полигоны используют также для наглядного изображения распределения данных, полученных в результате статистического исследования.

Если данные представлены в виде таблицы частот или относительных частот, то для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат статистические данные, а ординатами – их частоты или относительные частоты. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают полигон распределения данных.

И последний вид, который мы рассмотрим – это гистограмма.

Интервальные ряды данных изображают с помощью гистограмм. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота — частоте или относительной частоте. Таким образом, в гистограмме, в отличие от обычной столбчатой диаграммы, основания прямоугольников выбираются не произвольно, а строго определены длиной интервала.

Рассмотрим пример: на основании опроса была составлена следующая таблица распределения потребителей йогурта по возрасту.

Построим гистограмму для интервального ряда, характеризующего возраст потребителей йогурта. Пусть 1 на горизонтальной оси соответствует возрасту до 10 лет, а 1 на вертикальной оси – частоте, равной 1. Гистограмма представляет собой фигуру, составленную из шести сомкнутых прямоугольников.

Сумма высот прямоугольников равна общей исследуемой совокупности, т.е. 100.

Итоги урока

На этом уроке мы рассмотрели тему «элементы статистики». Вспомнили, что изучает статистика. Рассмотрели её основные характеристики. А также вспомнили основные виды представлений данных.