Поворот

Прежде чем приступить к изучению нового материала давайте повторим, что если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, тогда говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Вспомним, что движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Мы уже познакомились и повторили некоторые виды движения: такие как осевая симметрия, центральная симметрия, параллельный перенос.

Сегодня на уроке мы познакомимся с еще одним видом отображения плоскости на себя – поворотом.

Давайте отметим на плоскости произвольную точку О, назовем ее центром поворота, и зададим угол α (назовем его углом поворота).

Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М₁, что  и угол MOM₁=α. Заметим, что точка О остается на месте, то есть другими словами, отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О, причем, если , то против часовой стрелки, если , то по часовой стрелке 

Иногда в литературе можно встретить следующее обозначение для поворота вокруг центра О и на угол α: .

Теперь давайте попробуем определить, будет ли поворот движением? Для этого достаточно показать, что при повороте сохраняется расстояние между точками.

Пусть точка О – центр поворота, а угол α– угол поворота.

Рассмотрим случай, когда α>0, то есть поворачивать относительно точки О будем против часовой стрелки. Случай, когда α<0, то есть случай, когда поворачивать будем по часовой стрелке рассматривается аналогично, это вы можете сделать самостоятельно.

Пусть при этом повороте точки М и N отображаются в точки M₁ и  N₁ соответственно. Рассмотрим треугольники ОМN и OM₁N₁.

,  

, другими словами, при повороте расстояние между точками сохраняется. Значит, поворот – это еще один вид движения. Его можно представить себе как поворот всей плоскости вокруг данной точки О на данный угол α.

Задача. Построить отрезок , который получается из отрезка  поворотом вокруг данного центра  на:

а) , б) , в) .

Решение.

Для поворота отрезка, повернем концы этого отрезка. Для того, чтобы повернуть точку А, построим прямую ОА. От точки О с помощью транспортира отметим 150° (мы помним, что если угол меньше 0, то поворачиваем по часовой стрелки, то есть угол будем откладывать в эту сторону). С помощью циркуля измеряем расстояние АО и отложим это расстояние на получившейся прямой.

Поставим точку А₁. Аналогично, построим точку B₁. Тогда получившийся отрезок A₁B₁ – искомый. Для того, чтобы выполнить поворот на 100°, надо 100° отложить против часовой стрелки.

Все остальные построения проводятся аналогично тому, как мы делали в первом пункте. При повороте на 180° точка A₁ будет лежать на продолжении прямой ОА. Точка B₁ будет лежать на продолжении прямой OB.

Задача. Постройте треугольник, который получается из данного треугольника  поворотом вокруг:

а) точки  на ,

б) вокруг точки , не лежащей внутри треугольника на ,

в) вокруг точки , лежащей внутри треугольника на .

Решение.

Строить треугольник будем по точкам. Поскольку центром поворота является точка А, то она отображается сама на себя. Отобразим точку B. От точки А отложим против часовой стрелки угол равный 80°. Отложим на этой прямой отрезок равный стороне AB и получим точку B₁. Аналогично построим точку C₁. Тогда треугольник AB₁C₁ – искомый.

Проведя аналогичные построения, построим треугольники A₁B₁C₁ для остальных двух случаев.

Сегодня мы заканчиваем с вами изучение темы Движение. Давайте еще раз вспомним, что такое движение и с какими видами движения мы успели познакомиться.

Движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Мы доказали, что движением являются: осевая симметрия, центральная симметрия, параллельный перенос и поворот.