Параллельный перенос

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, что если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, тогда говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Вспомним, что движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Напомним, что при движении отрезок отображается на отрезок, треугольник отображается на треугольник, угол отображается на равный ему угол.

Сегодня мы с вами познакомимся с еще одним видом преобразования – параллельным переносом.

Преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние называется параллельным переносом.

Для того, чтобы задать перенос достаточно задать вектор. Другими словами параллельным переносом на вектор   называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка  отображается в такую точку , что вектор  равен вектору .

Теперь давайте попробуем определить, будет ли параллельный перенос движением.

Пусть при параллельном переносе на вектор  точки М и N отображаются в точки М₁ и N₁.

,

,  параллелограмм

Случай, когда точки М и N лежат на прямой параллельной вектору  вы можете рассмотреть самостоятельно, но и в этом случае расстояние между точками М и N будет равно расстоянию между точками M₁ и N₁. Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние между точками и поэтому представляет собой движение. Это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора   на его длину.

Для параллельного переноса как и для движения можно перечислить несколько свойств.

При параллельном переносе отрезок переходит в равный ему отрезок. Угол переходит в равный ему угол. Окружность переходит в равную ей окружность. Любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник. Параллельные прямые переходят в параллельные прямые. Перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые.

Решим несколько задач.

Задача. Начертить отрезок  и вектор . Построить отрезок , который получится из отрезка параллельным переносом на вектор .

Решение.

Для того, чтобы построить отрезок A₁B₁, отобразим точку А в точку A₁, точку B в точку B₁ с помощью параллельного переноса. Тогда соединив точки A₁ и B₁ мы получим отрезок A₁B₁.

Задача. Начертить треугольник  и вектор . Построить треугольник , который получится из треугольникa параллельным переносом на вектор .

Решение.

Отобразим с помощью параллельного переноса точки А, B, C в точки А₁, B₁, C₁. Соединив полученные точки, мы получим искомый треугольник А₁ B₁ C₁.

Задача. Начертить пятиугольник  и вектор . Построить пятиугольник , который получится из пятиугольника параллельным переносом на вектор .

Решение.

Решать эту задачу будем аналогично тому как мы решали предыдущую задачу. Отобразим каждую вершину пятиугольника с помощью параллельного переноса на вектор . Соединим получившиеся точки и получим искомый пятиугольник A₁B₁C₁D₁E₁.

Подведем итоги урока. Сегодня мы познакомились с еще одним видом движения – параллельным переносом. Преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние называется параллельным переносом. Чтобы задать параллельный перенос, достаточно задать некоторый вектор. Другими словами параллельным переносом на вектор  называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку M₁, что вектор  равен вектору .