Понятие движения

Прежде чем приступить к изучению нового материала давайте вспомним, что если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, то говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой  также принадлежит этой фигуре. Прямая  называется осью симметрии фигуры

Фигура называется симметричной относительно точки , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки  также принадлежит этой фигуре. Точка называется центром симметрии фигуры.

Повторим, что примерами отображения плоскости на себя является осевая и центральная симметрии.

У осевой симметрии есть одно очень важное свойство: осевая симметрия – отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояние между точками.

Пусть точки М и N – какие-нибудь точки плоскости, а точки M₁, и N₁ – симметричные им точки относительно прямой a. Здесь может быть несколько вариантов расположения точек на плоскости.

Рассмотрим один из таких вариантов.

По построению симметричных точек относительно прямой a, прямая a перпендикулярна прямым MM₁ и NN₁ и делит эти отрезки пополам, значит, в треугольниках МОМ₁ и NON₁ отрезки ОК и ОЕ будут являться медианами и высотами, проведенными к основанию, то есть это равнобедренные треугольники.

,

Таким образом, мы доказали, что расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками M₁ и N₁. Мы с вами рассмотрели один случай расположения точек. Остальные случаи вы можете рассмотреть самостоятельно и убедитесь, что и в остальных случаях эти расстояния будут равны.

Обобщая, можно сказать, что осевая симметрия является отображением, которое сохраняет расстояние между точками. Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением или по-другому – перемещением.

Давайте сформулируем определение: движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Почему такое отображение называется движением? Если рассмотреть осевую симметрию, то она представляет собой поворот плоскости в пространстве на 180º вокруг оси А.

Нетрудно убедится в том, что центральная симметрия плоскости также является движением.

Рассмотрим точки М и N и точки M₁, N₁ симметричные точкам М и N относительно точки О.

Рассмотрим треугольники MNO и M₁ON₁.

 вертикальные

То есть и при центральной симметрии сохраняется расстояние между точками. Тогда по определению движения, получим, что и центральная симметрия является движением.

Теорема. При движении отрезок отображается на отрезок.

Доказательство.

Пусть при некотором движении плоскости концы М и N отрезка MN отображаются в точки M₁ и N₁. Тогда нам надо доказать, что весь отрезок MN отображается на отрезок M₁N₁. Возьмем на отрезке МN произвольную точку P. И построим соответствующую ей точку P₁.

Поскольку точка P – принадлежит отрезку МN, то можно записать, что

.

Поскольку при движении расстояние между точками сохраняется, то

Складывая покомпонентно два последних равенства, получим,

Поскольку точку P на отрезке MN мы выбирали произвольно, то, значит, все точки отрезка MN отображаются в точки отрезка M₁N₁. Теперь докажем, что в каждую точку P₁ отрезка M₁N₁ отображается какая-нибудь точка P отрезка MN. Пусть точка P₁ – произвольная точка отрезка M₁N₁, и точка P при заданном движении отображается в точку P₁.

Тогда из этих соотношений и этого равенства получим,

Таким образом, теорема доказана.

Следствие. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

Доказать это следствие не сложно. Мы доказали, что при движении отрезок отображается в равный ему отрезок. То есть при отображении треугольника мы получим треугольник с равными сторонами, значит, полученный треугольник будет равен исходному по трем сторонам.

Задача. Доказать, что при движении угол отображается на равный ему угол.

Доказательство.

, ,

 по следствию

Что и требовалось доказать.

Задача. Доказать, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

Доказательство.

Итак, пусть при некотором движении две параллельные прямые a и b отображаются в прямые a₁ и b₁. Определим расстояние между параллельными прямыми. Для этого на прямой a возьмем произвольную точку a и проведем перпендикуляр из точки А на прямую b. Длина этого перпендикуляра и будет расстоянием между параллельными прямыми a и b. Мы знаем, что расстояние между параллельными прямыми одинаково, в каком бы месте мы его не измеряли. То есть, если мы измеряем расстояние между прямыми в точке C, то оно будет равно отрезку AB. Отметим на прямых, в которые отобразились прямые a и b точки, соответствующие точкам А, B, C, D. Поскольку расстояния между точками сохраняется при движении, то расстояние между точками А₁, B₁, C₁, D₁ будет равно расстоянию между точками А, B, C, D соответственно. То есть расстояния между прямыми, которые получились в результате движения тоже одинаковое, где бы мы это расстояние не мерили, то есть эти прямые параллельны.

Задача. Доказать, что при движении: параллелограмм отображается на параллелограмм, трапеция отображается на трапецию, ромб отображается на ромб, прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат – на квадрат.

Решение.

Решать эту задачу мы будем, используя предыдущие задачи, теорему и следствие. Мы с вами уже доказали, что равные отрезки отображаются в равные отрезки, параллельные прямые – в параллельные прямые, углы в равные им углы.

Зная все это, решение этой задачи становится очевидным. Поскольку стороны параллелограмма параллельны и равны, то они отобразятся в параллельные и равные отрезки.

Тогда получим, что параллелограмм отобразится в четырехугольник, стороны которого параллельны и равны. А такой четырехугольник является параллелограммом.

Аналогично, поскольку основания трапеции – параллельны, то они отобразятся в параллельные отрезки. Углы трапеции отобразятся в равные им углы, значит, трапеция отобразится в трапецию.

Стороны ромба попарно параллельны и равны, значит, у фигуры, в которую отобразится ромб стороны будут попарно параллельны и равны, то есть ромб отобразится в ромб.

Стороны прямоугольника попарно параллельны и равны, углы между сторонами равны 90º. Значит, при движении прямоугольник отобразится в четырех угольник, стороны которого попарно параллельны, равны, и углы между сторонами равны 90º. То есть прямоугольник отобразится в прямоугольник.

Стороны квадрата попарно параллельны и равны, значит у фигуры, в которую отобразиться квадрат стороны будут попарно параллельны и равны. Углы квадрата равны 90º, значит, и у фигуры, в которую отобразится квадрат углы будут по 90º. То есть фигура в которую отобразится квадрат – это квадрат.

Подведем итоги урока. Итак, на сегодняшнем уроке мы ввели понятие движения. Мы сказали, что движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Показали, что осевая и центральная симметрии являются движением. Доказали, что отрезок отображается на отрезок, параллельные прямые отображаются в параллельные прямые. Треугольник отображается в треугольник. Угол отображается на равный ему угол.