Отображение плоскости на себя

Если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, то говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Мы уже встречались с примерами отображения плоскости на себя. Это осевая симметрия. Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой  также принадлежит этой фигуре. Прямая  называется осью симметрии фигуры. Про такую фигуру говорят, что она обладает осевой симметрией.

Давайте приведем примеры таких фигур из жизни и геометрии. Например, бабочка обладает осью симметрии. У бабочки крылья симметричны относительно брюшка, кленовый лист симметричен относительно одной из центральных жилок. Вообще в нашей жизни очень много примеров осевой симметрии. В геометрии к фигурам с осевой симметрией относятся: прямоугольник, равнобедренный треугольник, ромб и другие.

То что осевая симметрия является примером отображения плоскости на себя доказать нетрудно.

Пусть a – это ось симметрии. Возьмем произвольную точку М, которая не лежит на прямой a и построим симметричную ей точку М один относительно прямой a. Для этого нужно провести перпендикуляр MP к прямой a и отложить на этом перпендикуляре отрезок PM₁=MP. Точка М₁ – искомая.

Если точка М лежит на прямой a, то симметричная ей точка М один совпадает с точкой М. То есть каждой точке М плоскости ставиться в соответствие точка M₁ этой плоскости. Этот факт доказывает, то что осевая симметрия является примером отображения плоскости на себя.

Вспомним еще один вид симметрии – центральную симметрию.

Фигура называется симметричной относительно точки , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки  также принадлежит этой фигуре. Точка называется центром симметрии фигуры.

Примерами центрально симметричных фигур можно назвать некоторые цветы. В геометрии яркими примерами центрально симметричных фигур являются окружность (центр симметрии – центр окружности) и параллелограмм (центром симметрии является точка пересечения диагоналей).

Доказать то, что центральная симметрия является примером отображения плоскости на себя, нетрудно. Пусть точка О – центр симметрии. Возьмем произвольную точку М и построим точку, которая симметрична точке М относительно центра симметрии О. Для этого соединим точки М и О и на продолжении прямой МО отложим отрезок О М₁ равный отрезку МО. Точка М₁ – искомая точка.

То есть мы доказали, что центральная симметрия тоже является примером отображения плоскости на себя.

Задача. Пусть в координатной плоскости имеются точки , , , . Построить точки симметричные:

а) точкам  и  относительно оси ;

б) точкам  и  относительно оси ;

в) точкам  и  относительно начала координат.

Решение.

а) ;

б) ;

в) ;

Для того, чтобы построить точки, симметричные точкам А и B относительно оси Оy, необходимо из точек А и B провести перпендикуляр к оси Оy и затем на продолжении этих перпендикуляров отложить отрезки равные АК и BP соответственно. Тогда получим точки A_1, B₁, которые симметричны точкам А и B относительно оси Оy.

Аналогично, для построения точек симметричных точкам C и D относительно оси Ox, опустим из этих точек перпендикуляры на ось Ox и на продолжении перпендикуляров отложим отрезки равные отрезкам CE и DF соответственно. Таким образом, мы получим точки C₁D₁ симметричны точкам C и D относительно оси Ox.

Для того, чтобы построить точки, симметричные точкам А и D относительно начала координат, соединим точки А и D с началом координат и на продолжении этих прямых отложим отрезки, равные АО и DО соответственно. Получим точки A2 и D2. Эти точки и будут симметричными точкам А и D относительно начала координат.

Задача. Указать количество осей симметрии:

Решение.

a) у равностороннего треугольника  оси симметрии;

б) у равнобедренного треугольника  ось симметрии;

в) у ромба 2 оси симметрии;

г) у параллелограмма нет осей симметрии.

Задача. Среди представленных фигур укажите фигуры, у которых:

а) есть ось симметрии;

б) есть центр симметрии.

Решение.

Легко увидеть, что ось симметрии имеют все фигуры кроме параллелограмма. А вот центр симметрии будут иметь окружность, ромб и параллелограмм.

Подведем итоги урока. Сегодня мы ввели понятие отображения плоскости на себя. Мы сказали, что если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, то говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Вспомнили такие понятия как центральная и осевая симметрия.