Площадь кругового сектора

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

Круг радиуса  с центром  содержит точку  и все точки плоскости, находящиеся от точки  на расстоянии, не большем .

Если в круге провести два его радиуса, например, ОА и ОB, они выделят из круга его часть, которая называется сектором.

Определение. Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора.

На первом рисунке изображены два сектора с дугами АlB и АmB. Первый из этих секторов закрашен. На втором рисунке изображены круг, который касается всех сторон треугольника, и два сектора, ограниченные радиусами, проведенными в точки касания, и соответствующими дугами окружности.

Выведем формулу для вычисления площади  радиусом , дуга которого имеет градусную меру .

Площадь круга радиусом . Следовательно,  , ограниченного дугой в , равна . Значит, Значит,  , ограниченного дугой в , выражается формулой: .

Например, если ABC – равносторонний треугольник, вписанный в круг радиуса R, а точка О – его центр, тогда площадь сектора, ограниченного радиусами ОА, ОB и дугой AmB, равна .

Теперь рассмотрим формулу для нахождения площади фигуры, которая называется сегментом.

Определение. Круговым сегментом или просто сегментом называется часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги.

Дуга окружности, ограничивающая сегмент, называется дугой сегмента, а ограничивающая его хорда называется основанием сегмента.

На рисунке изображены два круговых сегмента, ограниченные хордой АB и дугами AlB и AmB. Хорда АB является основанием для каждого из этих сегментов. На втором рисунке изображены сегменты, ограниченные стороной  MQ вписанного квадрата и соответствующими дугами окружности.

Вы уже знаете, что площадь круга вычисляется по формуле . Зная эту формулу нетрудно вывести формулу для вычисления площади кругового сегмента. Рассмотрим два случая:

1) дуга сегмента меньше 180 градусов;

2) дуга сегмента больше 180 градусов.

Итак, первый случай. Пусть дуга  сегмента имеет градусную меру , меньшую .  .

Второй случай.

Пусть дуга  сегмента имеет градусную меру , большую .

.

Заметим, что площадь сегмента, градусная мера дуги которого α>180º, можно найти также как разность между площадью круга и площадью сегмента с тем же основанием и дугой, градусная мера которой равна 360º-α.

Если центральный угол равен , то этот сегмент – полукруг, и его площадь равна .

Пусть ABC – равносторонний треугольник, вписанный в круг радиуса R, а точка О – его центр.

Тогда площадь меньшего сегмента, основанием которого служит сторона AB треугольника, равна

.

Задача. Площадь сектора  см², центральный угол равен . Найдите радиус круга.

Решение.

 (см)

 (см)

Ответ:  см.

Задача. Чему равен , если площадь сегмента  равна , радиус равен  и центральный угол ?

Решение.

 (см)

Ответ: .

Подведем итоги урока. На этом уроке мы познакомились с такими понятиями, как круговой сектор и круговой сегмент. Узнали, что круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Узнали, что круговым сегментом или просто сегментом называется часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги. А также вывели формулы для вычисления площади кругового сектора и кругового сегмента.