Распределительное свойство умножения

Представим себе такую историю…

– Саша, учитель математики предложил разгадать вот такой ребус, чтобы узнать, какое свойство умножения мы будем рассматривать на следующем уроке. Давай разгадаем его вместе, – предложил другу Паша.

– Давай разгадаем, – согласился Саша. – Мы с тобой раньше уже разгадывали ребус, в котором было зашифровано слово «модуль».

– Смотри, первая картинка в ребусе – врач, – начал Паша. – Перед картинкой стоит запятая. После картинки стоит перевёрнутая запятая. А это значит, что в слове «врач» мы должны отбросить первую и последнюю буквы.

– Тогда получим слог «ра», – сказал Саша и спросил, – а что изображено на следующем рисунке?

– Это суп, – ответил Паша. – А зачёркнутая цифра два рядом с ним означает, что нам надо из слова «суп» убрать вторую букву, то есть «у».

– Тогда у нас останется «сп», – сказал Саша. – А дальше нарисовано море.

– Да, но перед картинкой стоят две запятые, а значит, в слове «море» мы отбросим первые две буквы и получим слог «ре», – объяснил Паша и продолжил, – затем идут буквы «д» и «е». Дальше нарисована лиса.

– И после картинки стоят две перевёрнутые запятые, то есть в слове «лиса» мы отбросим две последние буквы, и у нас останется слог «ли», – помог другу Саша.

– Затем идут буквы «т» и «е», – продолжил Паша, – после них нарисована соль с двумя запятыми перед ней.

– А это значит, что в слове «соль» надо отбросить первые две буквы. И тогда у нас останется просто «ль», – сказал Саша.

– Верно. И у нас остались три буквы: «н», «о» и «е». Теперь давай посмотрим, что у нас получилось, – предложил другу Паша.

– У нас получилось слово «распределительное», – назвал зашифрованное слово Саша.

– Значит, на следующем уроке математики мы будем говорить о распределительном свойстве умножения, – сделал вывод Паша и предложил, – но давай прежде поговорим о нём с Мудряшом.

– Ребята, прежде чем мы с вами поговорим, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Ребята, на прошлом уроке мы с вами выяснили, что переместительное и сочетательное свойства умножения справедливы не только для положительных чисел, но и для рациональных чисел. То же самое можно сказать и про распределительное свойство умножения относительно сложения.

Запомните! Для любых рациональных чисел ,  и  выполняется равенство:

 – распределительное свойство умножения относительно сложения.

Давайте рассмотрим пример: . Воспользуемся только что сформулированным свойством. Тогда наше выражение примет вид: . Выполнив умножение, получим .

Обратите внимание, что, применив распределительное свойство, мы получили выражение, которое не содержит скобок. Такое преобразование называют раскрытием скобок.

Рассмотрим ещё один пример: . Прежде чем воспользоваться распределительным свойством умножения относительно сложения, заменим разность в скобках на сумму, – начал Мудряш.

– Для этого к уменьшаемому  прибавим выражение, противоположное вычитаемому , то есть : , – подсказал Саша.

– Теперь, применив наше свойство, что мы получим? – спросил Мудряш у мальчишек.

– Мы получим , – ответил Паша.

– Выполним умножение числовых множителей во втором слагаемом и в результате получим , – закончил преобразования Мудряш.

– Посмотрите на примеры  и , – продолжил Мудряш. – Здесь мы тоже можем применить распределительное свойство умножения несмотря на то, что в скобках более двух слагаемых.

Прежде чем раскрыть скобки в первом примере, заменим выражение в скобках на выражение, содержащее только действие сложения: . Теперь раскроем скобки: . Выполним преобразования и в результате получим: .

Раскроем скобки во втором примере. Заменим выражение в скобках на выражение, содержащее только действие сложения: . Выполним умножение каждого слагаемого на : . И в результате получим . Обратите внимание, что после умножения знак каждого слагаемого изменился на противоположный. Отметим, что вместо , стоящей перед скобкой, обычно пишут просто знак «». То есть можем записать вот такое равенство: .

Сформулируем следующее правило. Запомните! Если перед скобками стоит знак «», то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми внутри скобок, изменить на противоположные.

В следующем примере  выражение в скобках надо умножить на . Заменим выражение в скобках на выражение, содержащее только действие сложения: . Выполним умножение на  и в результате получим . Обратите внимание, что после умножения на  знаки слагаемых в скобках остались прежними. То есть можно записать вот такое равенство: .

Сформулируем следующее правило. Запомните! Если перед скобками стоит знак «», то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми внутри скобок, оставить без изменений.

Отметим, что при раскрытии скобок совсем не обязательно заменять выражение в скобках на выражение, которое содержит только действие сложения.

Распределительное свойство умножения можно применять и в обратную сторону. Это называют вынесением общего множителя за скобки. Например, в выражении  общим множителем является число . Вынесем его за скобки и получим .

Вынесение общего множителя за скобки иногда позволяет упрощать вычисления. Посмотрите на выражение: . В нём каждое слагаемое записано в виде произведения.

– И каждое произведение содержит множитель . Его мы и можем вынести за скобки: , – помогли Мудряшу мальчишки.

– Молодцы! – похвалил Мудряш ребят.

– Сумма в скобках равна , – продолжили вычисления Саша и Паша, –  и получим .

– Рассмотрим ещё один пример: , – сказал Мудряш. – Обратите внимание, что здесь каждое из слагаемых имеет одинаковую буквенную часть. Такие слагаемые называют подобными слагаемыми. Вынесем общий множитель  за скобки: . Выполним вычисления в скобках и в результате получим . Получается, что мы с вами упростили выражение. Такое упрощение называют приведением подобных слагаемых.

Запомните! Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

– Паша, Саша, а сейчас давайте выполним несколько заданий, – сказал Мудряш.

Задание первое: раскройте скобки:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение: чтобы раскрыть скобки в каждом из примеров, мы воспользуемся распределительным свойством умножения.

Итак, первый пример . Умножим каждое слагаемое в скобках на : . Преобразуем это выражение и в результате получим .

Раскроем скобки во втором примере . Умножим каждое слагаемое в скобках на : . Выполнив умножение в каждом слагаемом, в результате получим .

В третьем примере  перед скобками стоит знак «». А значит, при раскрытии скобок знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, мы изменим на противоположные и получим .

И раскроем скобки в последнем примере , умножив каждое слагаемое в скобках на : . Выполним умножение в каждом из слагаемых и в результате получим .

Второе задание: раскройте скобки и найдите значение выражения:

а) ; б) ; в) .

Решение: в первом примере  перед скобками стоит знак «», а значит, при раскрытии скобок все знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, мы оставим без изменений: . Заменим действие вычитания сложением: . Поменяем местами второе и третье слагаемые: . Первые два слагаемых – противоположные числа. Их сумма равна 0.

.

Во втором примере  перед скобками стоит знак «». Тогда раскрывая их, все знаки перед слагаемыми в скобках мы изменим на противоположные: . Сократим дробь  на 3: . Сложим дроби с одинаковыми знаменателями  и в результате получим 1.

Раскроем скобки в третьем примере . Перед первыми скобками стоит знак «». Значит, раскрывая их, мы изменим знаки перед слагаемыми в скобках на противоположные: . Перед вторыми скобками стоит знак «». Значит, раскрывая их, мы знаки перед слагаемыми в скобках оставим без изменений: . Поменяем местами  и : . Противоположные числа  и  в сумме дадут нам : . Заменим вычитание сложением: . Запишем сумму модулей слагаемых со знаком «»: . Выполним сложение в скобках и в результате получим .

Выполним следующее задание: Приведите подобные слагаемые:

а) ; б) .

Решение: в первом примере  каждое из слагаемых имеет одинаковую буквенную часть – , поэтому эти слагаемые называют подобными. Вынесем  за скобки: . Выполним вычисления в скобках и в результате получим .

Во втором примере  первое и третье слагаемые имеют одинаковую буквенную часть – .  Сгруппируем их. Второе и четвёртое слагаемые имеют одинаковую буквенную часть – . Тоже сгруппируем их:  . Вынесем за первые скобки общий множитель , за вторые – общий множитель : . Выполним вычисления в скобках и в результате получим .

И ещё одно задание: вынесите за скобки общий множитель:

а) ; б) ; в) .

Решение: первый пример . Каждое из слагаемых содержит общий множитель . Его мы и вынесем за скобки: .

Второй пример . Здесь общим множителем будет число : . Вынесем его за скобки и в результате получим .

Третий пример . Заметим, что в этом выражении каждое из слагаемых содержит множитель . Вынесем его за скобки и в результате получим .