Правило параллелепипеда

Материал урока.

На прошлых занятиях вы познакомились с понятием компланарных векторов.

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

При этом на практике мы использовали такую формулировку: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Так же вы доказали признак компланарности векторов.

Если вектор  можно разложить по векторам  и , то векторы ,  и  компланарны.

К тому же вы убедились в справедливости и обратного утверждения.

Если векторы ,  и  компланарны, а векторы  и  не коллинеарны, то вектор  можно разложить по векторам  и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Для сложения компланарных векторов, так как все они лежат в одной плоскости, можно использовать правила сложения известные из планиметрии, а именно: правило треугольника, правило параллелограмма и правило многоугольника.

Что же касается некомпланарных векторов, то для построения их суммы используют правило параллелепипеда.

Рассмотрим некомпланарные векторы ,  и .

От произвольной точки О пространства отложим векторы ,  и  равные векторам ,  и  соответственно.

На полученных векторах можно построить параллелепипед так, чтобы они являлись его рёбрами.

Построим вектор суммы векторов ,  и  при этом последовательно их складывая.

Вектором суммы векторов ,  по правилу параллелограмма будет вектор .

Вектором суммы векторов  и  по тому же правилу будет вектор . Вектор  равен сумме векторов ,  и , а значит равен сумме векторов ,  и .

Отсюда правило параллелепипеда можно сформулировать так.

Если отложить некомпланарные векторы ,  и  от некоторой точки пространства О и построить на них параллелепипед, то диагональ OD параллелепипеда будет выражать вектор суммы данных векторов.

Воспользуемся сформулированным только что правилом и выполним задание.

Рассмотрим  параллелепипед и укажем вектор суммы данных векторов такой, чтобы его начало и конец совпадали с вершинами параллелепипеда.

Первым назовём вектор . Так как эти векторы отложены от одной точки и являются рёбрами данного параллелепипеда, то вектор их суммы будет задавать диагональ параллелепипеда, одним из концов которой будет точка начала данных векторов А. Так мы получим вектор .

Далее назовём вектор суммы векторов .

Они также отложены от одной точки D и являются рёбрами данного параллелепипеда. Вектором их суммы будет вектор .

В следующем пункте нужно назвать вектор суммы векторов .

В данном случае векторы не имеют общего начала, а имеют общий конец.

Выразим каждый из данных векторов через противоположный.

Далее рассмотрим сумму векторов . Только вектор  не берёт своё начало в точке А₁. Но вектор  равен ему, поэтому заменим вектор  в сумме на равный ему вектор .

Не трудно понять, что вектором полученной суммы будет вектор .

Последней рассмотрим сумму векторов  .

Вектор  заменим равным ему вектором . Тогда не трудно записать вектор суммы. Им будет вектор  

Подведём итоги урока.

Сегодня мы описали правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов.

Если отложить некомпланарные векторы ,  и  от некоторой точки пространства О и построить на них параллелепипед, то диагональ OD параллелепипеда будет выражать вектор суммы данных векторов.

Это правило пригодится вам при изучении следующих тем курса стереометрии.