Компланарные векторы

Материал урока.

Ранее мы ввели понятие вектора в пространстве, понятие равных векторов, правила сложения и вычитания векторов, а также произведение вектора на число.

И все теоретические аспекты векторов в пространства практически совпадают с теорией векторов на плоскости. За исключением правила многоугольника сложения нескольких векторов. Многоугольник сложения в пространстве может быть и пространственным, то есть не все его вершины лежат в одной плоскости.

Сегодня мы с вами познакомимся с существенным и одним из главных отличий векторов на плоскости и векторов в пространстве. Мы введём понятие компланарных векторов.

Определение. Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Но в связи с тем, что от любой точки пространства можно отложить вектор равный данному, и притом только один, можно это определение переформулировать так.

Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Понятно, что любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести единственную плоскость.

Если же рассмотреть три вектора, то они могут быть как компланарными, так и некомпланарными.

Компланарными они будут в том случае, когда среди них есть пара коллинеарных векторов.

Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко изобразить равный в этой плоскости.

Так мы получаем, что два вектора всегда будут компланарными, а три вектора будут компланарными, если среди них есть пара коллинеарных векторов.

Задача.

 прямоугольный параллелепипед.

Компланарны ли векторы?

а) , ,

б) , ,

Решение.

Первой рассмотрим тройку .

Через векторы  и  проведём плоскость ACC₁.

Рассмотрим следующую тройку векторов. .

В этом задании мы, пользуясь определением, выяснили компланарны данные тройки векторов или нет.

Помимо определения компланарных векторов есть ещё и признак компланарности трёх векторов.

Если вектор  можно разложить по векторам  и , то есть представить его в таком виде , где x и y некоторые числа. То векторы ,  и  компланарны.

Докажем данный признак.

Рассмотрим два неколлинеарных вектора  и , отложим их от некоторой точки О. Далее проведём через них плоскость.

Очевидно, что в этой же плоскости лежат векторы x и y.

По правилу параллелограмма построим вектор суммы векторов x и y. Полученный вектор суммы равен вектору . А по рисунку становится понятно, что векторы ,  и  действительно лежат в одной плоскости, а значит, они компланарны.

Так мы доказали признак компланарности трёх векторов. Но справедливо и обратное утверждение, которое можно считать свойством трёх компланарных векторов.

Если векторы ,  и  компланарны, а векторы ,  не коллинеарны, то вектор  можно разложить по векторам  и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство.

Итак, воспользуемся тем, векторы компланарны, то есть лежат в одной плоскости. А из курса планиметрии известно, что любой вектор плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам. Как раз векторы  и  являются такими по условию.

Тогда отложим векторы ,  и  от некоторой точки О плоскости.

Вектор  равен сумме векторов  и , каждый из которых коллинеарен векторам  и  соответственно. Опираясь на коллинеарность, можем вектор  представить в виде произведения вектора  и некоторого числа x, а вектор  — в виде произведения вектора  и некоторого числа y.

Отсюда получаем, что вектор  равен сумме произведений вектора  на число x и вектора  на число y.

Тем самым мы смогли разложить вектор  по векторам  и .

Что и требовалось доказать.

Задача.

Для параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ среди данных троек векторов найти компланарные.

Решение.                                                                  

Первой рассмотрим тройку векторов .

Все эти векторы коллинеарны, так как являются противоположными рёбрами параллелепипеда. А для компланарности трёх векторов достаточно коллинеарности хотя бы двух из них (в начале урока мы рассматривали такой случай). Поэтому можно утверждать, что данные векторы компланарны.

Далее рассмотрим векторы ,  и .

Векторы и  лежат в одной плоскости, а вектор  пересекает её. Поэтому можно сказать, что данные векторы не компланарны.

Следующей рассмотрим тройку векторов  ,  и .

Среди них есть пара коллинеарных векторов,  и . А значит, векторы данной тройки будут компланарны.

Осталось рассмотреть тройку векторов ,  и .

В плоскости ABCD лежит вектор . И вектор , равен вектору . Но для вектора  в этой плоскости не найдётся равный, так как он пересекает её. Значит, векторы данной тройки не будут являться компланарными.

Так, пользуясь определением, мы нашли две тройки компланарных векторов.

Задача.  тетраэдр. Точки  и  — середины сторон  и . Доказать, что . Компланарны ли векторы ,  и ?

Итак, сначала проведём доказательство.

Пользуясь правилом многоугольника сложения нескольких векторов в пространстве, можно записать, что . С другой стороны вектор .

Сложим покомпонентно эти два равенства.

.

Векторы  и , а также  и  противоположны, ведь их длины равны и они противоположно направлены. А значит, каждая из этих сумм равна нулевому вектору.

Тогда мы получаем, что .

Что и требовалось доказать.

Теперь ответим на вопрос, компланарны ли векторы ,  и .

Разделим обе его части равенства, доказанного выше, на 2.

Так мы записали разложение вектора  по векторам  и , где оба коэффициента разложения равны .

Тогда по признаку компланарных векторов, данные векторы компланарны.

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы ввели понятие компланарных векторов.

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

На практике удобнее использовать такую формулировку: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Так же мы выяснили, что любые два вектора всегда компланарны, а вот три вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.

В связи с этим мы доказали признак компланарности векторов.

Если вектор  можно разложить по неколлинеарным векторам  и , то векторы ,  и  компланарны.

Справедливо также и обратное утверждение.

Если векторы ,  и  компланарны, а векторы  и  не коллинеарны, то вектор  можно разложить по векторам  и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.