Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Материал урока.

Аналогично тому, как на плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, наверняка, в пространстве любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам.

Говорят, что вектор  разложен по векторам , , если он представлен в виде суммы произведений вектора  на число x, вектора  на число y и вектора  на число z.

При этом числа x, y и z называют коэффициентами разложения.

Запишем теорему. Любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Докажем эту теорему для некомпланарных векторов , , .

Отметим любую удобную точку пространства и отложим от неё векторы , , и  равные векторам , ,  соответственно.

Далее через точку P проведём прямую параллельную прямой OC. Точку пересечения этой прямой с плоскостью ABC обозначим за P₁.

Далее через точку P₁ проведём прямую параллельную прямой OB. А точку пересечения этой прямой с прямой ОА обозначим за P₂.

Пользуясь правилом многоугольника сложения нескольких векторов, запишем, что .

Из построений следует, . А это значит, что .

 .

Таким образом мы разложили вектор  по трём некомпланарным векторам , , .

Осталось только доказать, что коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом.

Допустим, что кроме полученного нами разложения есть ещё одно, в котором коэффициенты разложения равны x₁, y₁, z₁.

Вычтем второе разложение из первого.

Понятно, что в разложении нулевого вектора по трём некомпланарным ненулевым векторам все коэффициенты разложения должны быть равны нулю.

Отсюда соответственно равны коэффициенты:

А это противоречит нашему допущению о том, что коэффициенты второго разложения вектора  отличны от коэффициентов первого разложения.

Отсюда получаем, что коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом.

Что и требовалось доказать.

Выполним несколько заданий.

Задача.  параллелепипед.

Разложить:

а) вектор  по векторам ,  и ;

б) вектор  по векторам ,  и .

Решение.

 Изобразим все векторы, перечисленные в первом пункте. Пользуясь правилом параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов, нетрудно заметить, что . Таким образом мы разложили вектор  по данным векторам. Причём каждый коэффициент данного разложения равен единице.

Обратимся к следующему пункту. Вектор  нужно разложить по векторам ,  и .

Для начала запишем, что по правилу многоугольника сложения нескольких векторов, вектор  .

Так мы разложили вектор  по данным векторам, где коэффициенты разложения y и x равны 1, а z равно -1.

Задача.  параллелепипед.  точка пересечения диагоналей. Разложить векторы  и  по векторам ,  и .

Решение.

Сразу можно отметить, что .

Поэтому в разложении этого вектора по данным векторам коэффициенты разложения при векторах  и  равны 0, а при векторе  — -1.

Далее разложим вектор  по данным векторам.

Задача.  тетраэдр.  середина ребра . Разложить векторы  по векторам ,  и . Если ,  и .

Решение.

Для начала стоит отметить, что на рёбрах DC и DB тетраэдра можно построить параллелограмм. И отрезок DK будет являться половиной его диагонали DD₁. Действительно, точка К является серединой второй диагонали BC, а значит, она является точкой пересечения диагоналей данного параллелограмма.

Рассмотрим каждый вектор этой суммы в отдельности.

Подставим полученные суммы в выражение для вектора .

Подведём итоги этого урока.

На нём вы узнали, что аналогично тому, как на плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, в пространстве любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам.

Говорят, что вектор  разложен по векторам ,  и , если он представлен в виде суммы произведений вектора  на число x, вектора  на число y и вектора  на число z. При этом числа x, y, z называют коэффициентами разложения.

Также мы доказали, что любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.