Основные следствия из СТО

Мы с вами показали, что события, одновременные в одной ИСО, могут оказаться не одновременными в другой ИСО, движущейся относительно первой. Иными словами, одновременность пространственно разделённых событий относительна. Установление этого факта заставило по-новому взглянуть на свойства пространства и времени. В частности, нам кажется очевидным, что промежуток времени от старта до финиша, измеренный участником автогонки по собственным часам, будет таким же и у судейской бригады. Но так ли это?

Проведём простой мысленный эксперимент. Возьмём импульсную лампу, зеркало и закрепим их на противоположных концах жёсткого стержня известной длины. Лампа даёт кратковременную вспышку. Свет отражается от зеркала и возвращается обратно.

Теперь представим, что стержень движется вправо с постоянной скоростью, перпендикулярной стержню. Тогда, в системе отсчёта, движущейся вместе со стержнем (в его «собственной» ИСО) события А и «Бэ» (В) происходят в одном и том же месте. Промежуток времени между этими двумя событиями, измеренный часами той ИСО, относительно которой эти события произошли в одном и том же месте (у нас это часы, жёстко скреплёнными со стержнем и движущимися вместе с ним), называется промежутком собственного времени (или просто собственным временем). Очевидно, что в нашем примере он равен отношению удвоенной длины стержня к скорости света:

Найдём теперь промежуток времени между этими же событиями, но по часам системы, относительно которой стержень движется («лабораторной» ИСО). Этот промежуток времени будем называть лабораторным временем.

Итак, с точки зрения лабораторной системы события А и В происходят в разных местах. Что бы определить путь, пройденный светом в лабораторной системе, воспользуемся треугольниками «А О Цэ» (ΔAOC) и «Бэ О Цэ» (ΔBOC), а также теоремой Пифагора:

Относительно неподвижной системы отсчёта стержень движется со скоростью υ, а свет — со скоростью с. Поэтому

Перепишем предыдущее равенство с учётом этих поправок:

И выразим из полученного уравнения промежуток времени Δt:

Сравнивая выражения, получим, что промежуток собственного времени между двумя событиями всегда меньше, чем промежуток времени между этими же событиями по часам лабораторной ИСО:

Этот эффект называют релятивистским замедлением времени. При релятивистских скоростях эффект замедления времени может быть очень существенным.

Теперь давайте представим себе такую ситуацию. Пусть вагон движется относительно платформы с постоянной скоростью. Вопрос: чему равна длина движущегося вагона с точки зрения инерциальной системы отсчёта, связанной с платформой?

Чтобы ответить на этот вопрос, не останавливая вагон, нанесём на платформу две метки D и E так, чтобы метка D находилась под точкой А вагона, а метка Е — под точкой В в один и тот же момент времени по часам платформы. Длину движущегося вагона в системе отсчёта «платформа» определим, как расстояние между этими метками: l = DE.

Согласно нашим обычным представлениям, при любой скорости длина вагона остаётся неизменной. Однако релятивистская теория утверждает, что это не так. Представим, что при прохождении точки вагона В над меткой Е происходит вспышка зелёного цвета (первое событие). А затем, при прохождении точки А над меткой Е — оранжевого цвета (второе событие). С точки зрения инерциальной системы «платформа» эти события произошли в одном и том же месте — там, где нанесена метка. Значит, время, прошедшее между зелёной и оранжевой вспышками в этой ИСО является промежутком собственного времени. Его можно измерить одними часами, находящимися на платформе возле метки Е.

С точки зрения ИСО «вагон» события один и два произошли в разных местах: зелёная вспышка — в точке В вагона, оранжевая — в точке А. Время, прошедшее между этими событиями в системе отсчёта «вагон», является лабораторным временем. Тогда, используя формулу релятивистского эффекта замедления времени, найдём отношение собственного времени к времени лабораторному:

Относительно ИСО «платформа» точка А вагона за время τ прошла путь, длиной

Относительно ИСО «вагон» метка Е за время Δt — путь

Разделив первое расстояние на второе:

И выразив из полученного равенства значение «Эль» получим, что с точки зрения неподвижного наблюдателя движущееся тело сокращается в направлении своего движения:

Это явление называется лоренцевым (или релятивистским) сокращением длины. Заметим, что при этом поперечные размеры тела (то есть измеренные вдоль осей, перпендикулярных направлению движения) не изменяются.

Рассмотренные нами эффекты называются релятивистскими потому, что они наблюдаются при скоростях движения, близких к скорости света, и описываются специальной теорией относительности, но не могут быть объяснены с позиций классической физики.

Здесь же отметим, что если скорость движения тел намного меньше скорости света в вакууме, то отношением υ²/c² можно пренебречь. Отсюда следует, что при движении с малыми скоростями эффекты замедления времени и сокращения длины можно не учитывать и мы приходим к классическим представлениям механики Ньютона.

Новым релятивистским представлениям о пространстве и времени соответствует и новый закон сложения скоростей. Ведь очевидно, что классический закон сложения скоростей Галилея не может быть справедлив, так как он противоречит постоянству скорости света в вакууме. Например, если ракета движется со скоростью υ относительно Земли и в ней в направлении движения распространяется световая волна, то скорость световой волны относительно Земли должна равняться с, но никак не (υ + с).

Покажем это. Для этого запишем закон сложения скоростей для частного случая, когда тело движется вдоль оси X₁ системы отсчёта K₁ которая, в свою очередь, движется со скоростью υ относительно системы отсчёта К. Причём в процессе движения координатные оси Х и Х₁ всё время совпадают, а координатные оси Y и Y₁, Z и Z₁ остаются параллельными.

Обозначим модуль скорости тела относительно подвижной системы отсчёта через υ₁, а модуль скорости этого же тела относительно неподвижной системы — υ₂. Тогда релятивистский закон сложения скоростей будет иметь вот такой вид:

Заметим, что эта формула применима только в том случае, если все три вектора скорости направлены вдоль одной прямой. В общем случае этот закон имеет более сложный вид. Однако при любой форме записи его сущность заключается в том, что скорость с света в вакууме является предельной скоростью передачи сигналов.

Действительно, предположим, что частица движется со скоростью света в вакууме относительно подвижной системы отсчёта. Найдём скорость частицы относительно неподвижной системы отсчёта:

Как видим, она оказалась равной скорости света в вакууме.

Теперь предположим, что частица опять движется со скоростью света относительно подвижной системы отсчёта, которая в свою очередь тоже движется со скоростью света относительно неподвижной системы отсчёта. И опять, согласно новому закону сложения скоростей, мы приходим к тому, что скорость частицы относительно неподвижной системы отсчёта равна скорости света в вакууме:

Таким образом при любых скоростях тела и подвижной системы отсчёта, их результирующая скорость не превышает значения скорости света в вакууме.

Отметим также, что при движениях со скоростями, намного меньшими скорости света в вакууме, вторым слагаемым в знаменателе релятивистского закона сложения скоростей можно пренебречь. В результате мы получим привычный для нас классический закон сложения скоростей Галилея.

Для закрепления материала решим с вами такую задачу. Итак, один из двух братьев-близнецов (А) остаётся на Земле, а другой (B) отправляется в путешествие на межзвёздном корабле, скорость которого 0,99999с. После десятилетнего (по своим часам) путешествия брат В возвращается на Землю. На сколько лет постарел его брат на Земле?

В заключении отметим, что с новыми пространственно-временными представлениями не согласуются при больших скоростях движения и законы механики Ньютона. Однако введённые в динамике основные понятия: энергия и импульс — имеют тот же физический смысл. Лишь понятие массы в классической механике отличается от понятия массы в релятивистской динамике.