Элементы релятивистской динамики

На прошлых уроках мы с вами начали знакомство со специальной теорией относительности Эйнштейна, в основе которой лежат два постулата: постулат относительности, и принцип постоянства скорости света.

Так же мы с вами показали, что одновременность пространственно разделённых событий относительна. Установление этого факта заставило по-новому взглянуть на свойства пространства и времени. В частности, это привело к обнаружению тесной взаимосвязи между массой и энергией и к изменению законов динамики. Необходимость изменения динамики очевидна хотя бы из того, что, согласно законам Ньютона, любое тело можно в принципе разогнать до любой скорости.

Например, пусть у нас есть тело известной массы. Если мы к нему приложим постоянную силу, то через некоторый промежуток времени тело разовьёт скорость, модуль которой легко найти из второго закона Ньютона, записанного в импульсной форме:

Отсюда следует, что в рамках классической механике, при t > mc/F скорость тела превзошла бы скорость света, что противоречит результатам экспериментов и основным положениям СТО.

Так же при изучении классической механики мы с вами говорили о том, что важной динамической величиной является масса тела. Из второго закона Ньютона следует, что масса тела является мерой его инертных свойств. В формулах, связывающих импульс тела и его скорость, а также кинетическую энергию и скорость тела, масса тела также выступает как мера инертности.

В то же время масса является мерой гравитационного взаимодействия, так как она входит в закон всемирного тяготения. Инертность и способность к гравитационным взаимодействиям представляют собой совершенно различные проявления свойств материи. Однако оба свойства всегда существуют совместно и всегда друг другу пропорциональны. При этом многочисленные эксперименты показали, что инертная и гравитационная массы равны.

В классической механике мы также говорили о том, что масса является мерой количества вещества: чем больше отдельных частиц (атомов) содержит физическая система, тем больше её масса.

В специальной теории относительности в отличие от классической механики масса тела не является мерой количества вещества, так как в релятивистской теории масса определяться не столько числом частиц, сколько их энергиями.

В СТО масса движущегося тела не является мерой его взаимодействия с гравитационным полем, так как это поле зависит от энергии и импульса тела.

Из постулатов теории относительности вытекает, что скорость частицы может быть либо равна скорости света в вакууме во всех инерциальных системах, либо меньше скорости света. Соответственно рассматриваются два класса частиц. Частицы, движущиеся с абсолютной скоростью, отличаются предельной инерционностью: они всегда движутся только по инерции и не могут быть ни замедленны, ни ускорены. На основании этого предположили, что масса таких частиц равна нулю — безмассовые частицы. Такими частицами, в частности, являются фотоны (кванты электромагнитного излучения) и нейтрино.

При взаимодействии безмассовых частиц с частицами вещества выполняются законы сохранения энергии и импульса, о чем свидетельствуют опыты по взаимодействию фотонов и нейтрино с атомами, ядрами и элементарными частицами. Это позволяет утверждать, что безмассовые частицы обладают энергией и импульсом. При этом во всех инерциальных системах отсчёта вектор импульса такой частицы и её энергия отличны от нуля, так как её нельзя остановить. Возможно лишь их одновременное обращение в ноль, что будет означать прекращение её существования (например, в результате поглощения). Энергия и импульс таких частиц связаны соотношениями, представленными на экране:

В отличие от безмассовых частиц, движущихся с абсолютной скоростью, остальные — массовые частицы — всегда движутся со скоростью меньше скорости света. То есть масса есть их индивидуальная характеристика. Масса частицы абсолютна: она не зависит от выбора инерциальной системы отсчёта, а значит, и от скорости движения частицы.

При этом масса в СТО для каждого тела остаётся постоянной величиной, характеризующей его инертность. Как и в нерелятивистской механике, числовое значение массы показывает, насколько данное тело инертнее, чем тело, принятое за эталон массы.

В СТО релятивистский импульс свободно движущейся частицы, обладающей массой, определяется отношением произведения скорости частицы и её энергией к квадрату скорости света в вакууме:

При этом энергия определяется из соотношения между энергией и импульсом:

Отсюда следует, что если частица, обладающее массой, покоится, то её импульс равен нулю. Однако при этом энергия частицы отлична от нуля:

Эта энергия называется энергией покоя, которую ещё называют собственной энергией частицы.

Таким образом, согласно СТО, масса тела является мерой его энергии в состоянии покоя. В каждом теле таится огромный запас энергии. Например, тело массой один грамм обладает энергией покоя, которая эквивалентна энергии, выделяющейся при сгорании 2000 т нефти.

Из предыдущей формулы следует, что изменение энергии покоя тела вызывает изменение его массы:

Утверждение о том, что энергия покоя пропорциональна массе, а изменение энергии покоя вызывает изменение массы, называют законом взаимосвязи массы и энергии.

Если в формулу соотношения между энергией и импульсом подставить значение модуля импульса, то легко получить выражение для определения полной энергии тела, движущегося с релятивистской скоростью:

Теперь подставим полученное уравнение в формулу для импульса:

Последняя формула определяет релятивистский импульс тела, движущегося со скоростью, близкой к скорости света.

Кинетическая энергия тела в СТО определяется разностью между полной энергией и энергией покоя:

Обратите внимание на то, что согласно этой формуле, если скорость массовой частицы стремится к скорости света, то её кинетическая энергия стремится к бесконечности, что невозможно. Это означает, что скорость частицы, обладающей массой, всегда меньше скорости света в вакууме.

Для закрепления нового материала, давайте с вами определим, за какое время масса Солнца уменьшится в два раза, если ежесекундно оно равномерно излучает энергию, мощность которой равна 3,9 ∙ 10²⁶ Вт.

В заключение отметим, что законы динамики Ньютона и классические представления о пространстве и времени можно рассматривать как частный случай релятивистских законов при скоростях движения, много меньших скорости света.

Это — проявление так называемого принципа соответствия, согласно которому любая теория, претендующая на более глубокое описание явлений и на более широкую сферу применимости, чем старая, должна включать последнюю как предельный случай. Принцип соответствия впервые был сформулирован Нильсом Бором для установления связи квантовой и классической теорий.