Длина окружности

На этом уроке мы выведем формулу, выражающую длину окружности через ее радиус; а также выведем формулу для вычисления длины l дуги окружности с градусной мерой α.

Давайте проведем небольшой эксперимент. Возьмем монетку, положим ее на чистый лист бумаги и проведем по ее контуру карандашом. Смотрите, на листе остался след. Что это за линия? Конечно! Это окружность!

 Напомню, что геометрическое место точек, которые находятся на данном расстоянии от данной точки, есть окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности, называется радиусом. Хорда, проходящая через центр окружности, называется ее диаметром. С помощью линейки можно измерить диаметр или радиус этой окружности. А вот, можно ли измерить длину самой окружности? Ведь линейку к ней не приложишь. Чтобы получить наглядное представление о длине окружности, представим себе, что мы взяли тонкую нерастяжимую нить и обмотали ею монетку. Если разрезать нить в какой-нибудь точке А и  распрямить ее, то получится отрезок AA₁, длина которого и  есть длина окружности.

Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближённым значением длины окружности. Ведь мы уже знаем, что многоугольник при увеличении числа сторон все ближе и ближе «прилегает» к окружности, т.е. чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее это приближённое значение.

Давайте выведем формулу, которая выражает длину окружности через ее радиус

 .

Пусть есть две окружности с радиусами R и соответственно. C и – длины этих окружностей. Впишем в каждую из них правильные n-угольники. a_n и стороны этих многоугольников, P_n и соответственно их периметры. Теперь воспользуемся формулой, по которой находится сторона правильного n-угольника через радиус описанной окружности. Тогда можем записать, что периметр . Или, учитывая формулу, равен  . Следовательно,  .

Значит, верно равенство:  .

Это равенство верно при любом значении n. Будем теперь неограниченно увеличивать число n.

.

Значит, отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей.

Число, равное отношению длины окружности к ее диаметру принято обозначать следующей греческой буквой  (читают ее «пи»), первая буква древнегреческого слова «периметрон» - окружность.

Доказано, что число пи является бесконечной непериодической десятичной дробью, т.е. иррациональным числом.

Это приближённое значение было найдено еще в третьем веке до нашей эры великим греческим ученым Архимедом. По числу букв в словах фразы «Это я знаю и помню прекрасно, но многие цифры мне лишни, напрасны» можно воспроизвести 12 первых знаков числа пи. При решении задач обычно пользуются приближённым значением пи с точностью до сотых:

Для нахождения формулы длины окружности воспользуемся равенством  . Отсюда вытекает, что длина окружности радиуса R находится по формуле:  или по формуле , где D – диаметр окружности.

Выведем формулу для вычисления длины  дуги окружности, градусная мера которой равна .

Длина дуги в равна  .

Длина  дуги окружности выражается формулой:

Задача. Длина окружности  см. Найдите радиус этой окружности.

Решение.

Мы уже знаем, что длина окружности вычисляется по формуле
. По условию задачи д. Приравняем правые части равенств. Получим, что два пи ЭР равно 36 пи. Следовательно, радиус .

 (см)

Ответ:  см.

Задача. Найдите периметр правильного шестиугольника вписанного в окружность, если дуга, стягиваемая его стороной, равна  см.

Решение.

Пусть  – правильный шестиугольник.

 см

Следовательно,  см.

Рассмотрим .

Т.к. , то  – равносторонний.

 (см)

Ответ:  см.

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вывели формулу, для вычисления длины окружности через ее радиус. Показали, что отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Узнали, что число, равное отношению длины окружности к ее диаметру обозначают греческой буквой π. А также вывели формулу для вычисления длины l дуги окружности с градусной мерой α.