Построение правильных многоугольников

На этом уроке мы рассмотрим способы построения некоторых правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. А также изобразим правильный многоугольник графически.

Для начала давайте вспомним определение правильного многоугольника. Итак, правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

Для выполнения построений мы используем циркуль и линейку.

Циркуль позволяет:

– построить окружность,

– построить дугу окружности,

– отложить на прямой отрезок, равный данному.

Линейка позволяет:

– построить прямую линию,

– построить отрезок, соединяющий две точки,

– найти точку пересечения двух прямых.

Ранее мы с вами уже рассматривали построения правильного треугольника и четырехугольника, т.е. квадрата.

Давайте рассмотрим, каким образом можно с помощью циркуля и линейки построить правильный треугольник и правильный четырехугольник, вписанные в окружность.

Задача 1. Вписать в заданную окружность правильный треугольник

Решение.

Первый способ.

Построение. Пусть задана окружность с центром О. Проведем произвольный диаметр BD окружности. Построим прямую l, являющуюся серединным перпендикуляром к радиусу OD. Середину радиуса ОD обозначим точкой К. Отметим точки А и C – пересечения прямой l с окружностью. И построим отрезки BA и BC. Треугольник ABC – правильный.

Доказательство.

В  катет .

Тогда , .

Отсюда, .

Значит,  – равносторонний  – правильный.

Второй способ построения.

Пусть задана окружность с центром О. Раствором циркуля, равным радиусу, последовательно от одной точки окружности делаем на ней засечки, пока последняя засечка не совпадет с взятой первоначально точкой. Соединив полученные точки через одну, получим правильный треугольник.

Задача 2. Вписать в заданную окружность правильный четырехугольник.

Решение.

Построение. Пусть задана окружность с центром О. Построим диаметр AC. Затем построим диаметр BD перпендикулярный диаметру AC. Точки А, C и B, D – точки пересечения диаметров с окружностью. И построим отрезки АB, BC, CD и АD. Четырехугольник ABCD – правильный.

Доказательство.

Т.к. , , то  – параллелограмм.

Т.к. ,то  – прямоугольник.

Т.к. ,то  – ромб.

Т.к. ,то  – квадрат.

Следовательно,  – квадрат.

Значит,  – правильный четырехугольник.

Теперь давайте рассмотрим построения правильных n-угольников при n>4. Обычно для построения таких n-угольников используется окружность, описанная около многоугольника.

Задача 3. Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

Решение.

Построение. Так как в правильном шестиугольнике сторона а равна радиусу, то достаточно последовательно отложить от одной точки окружности 6 радиусов-хорд. Пусть МN – заданный отрезок. Построим окружность с произвольным центром О и радиуса MN. Отметим на этой окружности произвольную точку А. Затем, не меняя раствора циркуля, последовательно от этой точки А будем делать на окружности засечки, пока последняя засечка не совпадет с взятой первоначально точкой А. Отметим точки B, C, D, Е и F. Теперь соединим последовательно построенные точки отрезками. Получим искомый правильный шестиугольник ABCD.

Доказательство.

Равные хорды стягивают равные дуги.

Все углы шестиугольника будут равны, так как опираются на дуги, состоящие из четырех равных меньших дуг.

Для построения правильных многоугольников часто используется следующая задача: дан правильный n-угольник. Построить правильный 2n-угольник.

Задача 4. Дан правильный шестиугольник. Построить правильный двенадцатиугольник.

Решение.

Построение.

Пусть ABCDEF – данный правильный шестиугольник. Опишем около него окружность.

1.  – точка пересечения биссектрис  и .

2. Окружность .

3.  –  серединные

перпендикуляры к .

4.

.

5. – правильный двенадцатиугольник.

Применяя указанный способ, можно с помощью циркуля и линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них. Например, построив правильный четырехугольник, т.е. квадрат, и пользуясь задачей 4, можно построить правильный восьмиугольник, затем правильный шестнадцати-угольник и вообще правильный 2^k угольник, где k – любое целое число, большее 2.

Замечание. Рассмотренные примеры показывают, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Но важно заметить, что не все правильные многоугольники могут быть построены таким образом.

С давних времен построению правильных многоугольников математики уделяли большое внимание. Древние греки умели строить правильные треугольники, четырехугольники, пятиугольники. А также многоугольники, получаемые удвоением их сторон, шестиугольники, восьмиугольники, десятиугольники и т.д. Далее дело зашло в тупик. И только 2000 лет спустя великий немецкий математик 17 века Карл Гаусс, которого называли «королем математики», решил эту математическую проблему. Будучи девятнадцати летним юношей, он доказал, что можно построить правильный семнадцати-угольник, а вот семиугольник, девятиугольник, одиннадцатиугольник, тринадцати-угольник циркулем и линейкой построить нельзя. Задача о построении правильного семнадцати-угольника была самым первым его научным открытием.

Подведем итоги урока.

Сегодня мы рассмотрели способы построения некоторых правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Научились строить правильные треугольник и четырехугольник, вписанные в окружность. А также выполнили задачу на построение правильного многоугольника по заданному отрезку, и задачу на построение правильного 2n-угольника по заданному n-угольнику.