Предел числовой последовательности

Вопросы занятия:

·     познакомиться с понятием сходимости последовательностей;

·     познакомиться с понятием предела числовой последовательности.

Материал урока.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте выполним упражнение.

Упражнение.

Рассмотрим две числовые последовательности (x_n) и (y_n).

Изобразим члены этой последовательности точками на числовых прямых.

Легко заметить, что члены последовательности (x_n) как бы сгущаются к точке ноль, а у последовательности (y_n) такой точки сгущения нет. В таких случаях говорят, что последовательность (x_n) сходится, а последовательность (y_n) – расходится.

В математике термин точка сгущения заменяется термином предел последовательности.

Давайте дадим определение пределу последовательности.

Определение.

Число b называют пределом последовательности (y_n), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержаться все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

В таком случае пишут

В определении появился новый термин – окрестность. Давайте разбер`мся, что это такое. Интервал (a – r; a + r) будем называть окрестностью точки а, а число r – радиусом окрестности.

То есть наше определение можно понимать так:

Понятие предела использовалось ещё Ньютоном во второй половине семнадцатого века и математиками восемнадцатого века такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно.

Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Для рассмотренной выше последовательности (x_n) = 1/n можно записать соотношение:

Легко заметить, что и для последовательности (y_n) предел равен нулю.

Обобщая предыдущие две последовательности, можно записать:

Рассмотрим последовательности.

Подставляя вместо q другие числа, по модулю больше единицы, можно заметить, что справедливо утверждение:

Рассмотрим свойства сходящихся последовательностей.

В девятнадцатом веке немецкий математик Карл Вейерштрасс доказал, что если последовательность не только ограничена, но и монотонна (убывает или возрастает), то она обязательно сходится. То есть можно записать третье свойство сходящихся последовательностей.

Сегодня на уроке мы вывели:

Добавим ещё одно соотношение:

Другими словами, предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности.

Указанные выше соотношения используются для вычисления пределов в более сложных случаях. Для этого же используется и следующая теорема.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Пример.

Из этих примеров видно, что для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение:

Рассмотрим ещё несколько примеров.

Пример.

Пример.