Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур

В стереометрии большое значение имеет умение наглядно изображать неплоские фигуры на плоскости. Вы знаете, что когда в планиметрии на листе бумаги изображают плоскую фигуру, то все точки изображённой фигуры лежат на плоскости листа. В стереометрии же рассматриваются фигуры, у которых не все точки расположены в одной плоскости. Поэтому надо знать правила, по которым изображают на плоскости пространственные фигуры.

Итак, зачастую для изображения на плоскости (например, на листе бумаги) геометрических фигур, расположенных в пространстве, используется параллельное проектирование. Определяется оно следующим образом.

Пусть  — некоторая плоскость, а  — некоторая прямая, пересекающая эту плоскость. Возьмём в пространстве произвольную точку . Если точка  не лежит на прямой , то проведём через точку  прямую, параллельную прямой , и обозначим через  точку пересечения этой прямой с плоскостью . Если же точка  лежит на прямой , то обозначим через  точку пересечения прямой  с плоскостью .

Точка  называется проекцией точки  на плоскость  при проектировании параллельно прямой  (или параллельной проекцией точки ).

Плоскость  называется плоскостью проекций, а о прямой  говорят, что она задаёт направление проектирования.

Все прямые, параллельные прямой , задают одно и то же направление проектирования, поэтому также называются проектирующими прямыми.

Пусть  — плоская или пространственная фигура. Проекцией фигуры  на плоскость  при проектировании параллельно прямой  называется множество  проекций всех точек фигуры.

Заметим, что проекция заданной фигуры зависит от выбора плоскости проекций и проектирующей прямой.

Вспомним основные свойства параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой, задающей направление проектирования.

1. Проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка — отрезок.

2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.

3. Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.

Следствие. При параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции.

При параллельном проектировании могут искажаться размеры отрезков и углы, но обязательно сохраняется параллельность прямых.

Если точка делит отрезок в отношении , то проекция точки будет делить проекцию отрезка также в отношении .

Центр правильного треугольника отображается в точку пересечения медиан проекции этого треугольника, центр квадрата — в точку пересечения диагоналей проекции квадрата.

А теперь давайте поговорим об изображении пространственных фигур.

Рассмотренные свойства параллельного проектирования применяются при выполнении рисунков (изображений фигур), иллюстрирующих теоремы и задачи стереометрии.

Изображением фигуры  называется любая фигура, подобная проекции этой фигуры на некоторую плоскость.

Выполняя изображения фигур, расположенных в пространстве, необходимо учитывать свойства, сохраняющиеся при параллельном проектировании, а в остальном изображение может быть произвольным. Важно только, чтобы изображения рассматриваемых фигур были наглядными и давали верное представление о них.

При различном выборе плоскости проекций и направления проектирования получаются различные проекции данной фигуры, а значит, и различные её изображения.

Например, вы видите фигуры, которые являются изображениями куба.

Причём изображение куба, данное на первом рисунке, не даёт представления о кубе, наглядным является изображение, которое дано на последнем рисунке.

При построении изображений плоских фигур, расположенных в пространстве, предполагается, что плоскости рассматриваемых фигур не параллельны направлению проектирования.

Итак, проекцией треугольника может быть любой треугольник.

При этом величины углов и отношение длин непараллельных сторон не сохраняются, но при этом медианы треугольника отображаются в медианы его проекции. В частности, за изображение прямоугольного, равнобедренного, равностороннего треугольников можно принять любой треугольник.

Параллелограмм проектируется в параллелограмм, так как параллельные прямые сохраняют параллельность.

В частном случае за изображение прямоугольника, квадрата, ромба можно принять любой параллелограмм.

Трапеция проектируется в другую трапецию, но с сохранением параллельности оснований.

Правильный шестиугольник проектируется в искажённый шестиугольник с сохранением параллельности противолежащих сторон.

Окружность проектируется в эллипс, большая ось которого имеет длину, равную диаметру окружности.

При изображении пространственных фигур пользуются тем фактом, что фигуру, состоящую из сторон и диагоналей любого выпуклого или невыпуклого четырёхугольника, можно считать изображением треугольной пирамиды при определённом выборе направления проектирования и плоскости, на которую проектируется эта пирамида.

Например, фигуры, изображённые на экране, являются изображениями треугольной пирамиды при соответствующем выборе направления проектирования.

Изображение параллелепипеда строится, исходя из того, что все его грани параллелограммы и, следовательно, изображаются параллелограммами.

При изображении куба плоскость изображений обычно выбирается параллельной одной из его граней. В этом случае две грани куба, параллельные плоскости изображений (передняя и задняя), изображаются равными квадратами. Остальные грани куба изображаются параллелограммами.

Аналогичным образом изображается прямоугольный параллелепипед.

Для того чтобы построить изображение призмы, достаточно построить многоугольник, изображающий её основание. Затем из вершин многоугольника провести прямые, параллельные некоторой фиксированной прямой, и отложить на них равные отрезки. Соединяя концы этих отрезков, получим многоугольник, являющийся изображением второго основания призмы.

Для того чтобы построить изображение пирамиды, достаточно построить многоугольник, изображающий её основание. Затем выбрать какую-нибудь точку, которая будет изображать вершину пирамиды, и соединить её с вершинами многоугольника. Полученные отрезки будут изображать боковые рёбра пирамиды.

Для изображения цилиндра достаточно изобразить его основания в виде двух эллипсов, получающихся друг из друга параллельным переносом, и нарисовать две образующие, соединяющие соответствующие точки этих оснований.

Для изображения конуса достаточно изобразить его основание в виде эллипса, отметить вершину и провести через неё две образующие, являющиеся касательными к этому эллипсу.

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. Точки  и  находятся по одну сторону от плоскости . Точки  и  — их параллельные проекции на эту плоскость, причём . Постройте точку пересечения  прямой  с плоскостью . И найдите расстояние между серединой отрезка  и её проекцией на плоскость , если  и  см.

Решение.

Задача вторая. На диагонали  параллелепипеда  взята точка , а на прямой  – точка  так, что отрезки  и  параллельны. Найти их отношение.

Решение.