Вы уже знаете, что симметрия в переводе с греческого означает «одинаковость в расположении частей». В таком широком понимании симметрия не имеет математического содержания.
Математики же вкладывают в понятие симметрии точный математический смысл, рассматривают специальные виды симметрии. Таким образом, симметрия становится мощным средством математических исследований, помогает решать сложные задачи.
Для того чтобы освоить «метод симметрии», надо сначала познакомиться с основными свойствами симметрии.
Итак, первое свойство. Для любой точки плоскости всегда можно построить симметричную ей точку относительно некоторой прямой.
Второе свойство. На одном из предыдущих занятий мы строили с помощью угольника и линейки точку, симметричную данной точке относительно некоторой прямой, поэтому вы знаете, что отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам.
Третье свойство. Если
отрезки и
симметричны относительно прямой l, то их длины равны.
Четвёртое свойство. Если точка симметрична точке
относительно прямой l, то для любой точки
на этой прямой отрезки
и
равны.
Из этих свойств симметрии следует важное свойство плоскости.
Если – некоторая точка плоскости, а
– точка на прямой l, то длина отрезка
будет наименьшей, если отрезок
перпендикулярен прямой l.
Другими словами, кратчайшим путём от точки до прямой является путь по перпендикулярному к этой прямой направлению.
Давайте докажем это.
Пусть дана прямая l и точка А, которая не лежит на этой прямой. Возьмём на прямой l точку B так, чтобы отрезок АB был перпендикулярен прямой l.
Пусть точка – любая другая точка на прямой l. Нам надо доказать, что
отрезок
меньше отрезка
.
Возьмём точку , симметричную точке А относительно прямой l. Тогда точка B будет лежать на отрезке
. По второму свойству:
. По четвёртому свойству:
.
Отрезок короче ломаной
. Следовательно, отрезок АB меньше отрезка
. Что и требовалось доказать.
Теперь начертим окружность с центром в точке А, проходящую через точку B. Получается, что АB – радиус этой окружности.
Эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку – точку B. В этом случае говорят, что окружность касается прямой l или что прямая l является касательной к окружности.
Сформулируем важное свойство окружности и касательной к ней. Прямая, перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через конец этого радиуса, касается окружности.
Сейчас мы с вами рассмотрим задачу, которая является классической задачей геометрии. Даны прямая l и две точки А и B по одну сторону от неё.
Найдите на прямой такую точку М, чтобы путь из точки А в точку B через точку М был кратчайшим, то есть длина ломаной АМB была наименьшей.
Данная задача решалась бы совсем легко, если бы точки А и B лежали по разные стороны от прямой l. Мы бы просто соединили эти точки отрезком и на пересечении с прямой l получили бы точку М.
Зная это, построим точку симметричную точке А относительно прямой l. Затем соединим точку
и точку B.
Обозначим точку пересечения отрезка с прямой l точкой М. Для точки
, симметричной точке А относительно прямой l, длина отрезка
равна длине отрезка
. Значит,
. Тогда точка М и будет нужной нам точкой.
Давайте выполним задание. Начертите прямоугольный
треугольник , в котором угол
прямой, а стороны
и
равны соответственно 3 см и 2 см. Постройте треугольник,
симметричный данному относительно: а) прямой
; б) прямой
; в) прямой
. Какой фигурой в каждом случае является объединение данного
треугольника и построенного?
Решение.