Центральные тенденции

Сегодня на уроке мы вспомним, что называют случайными величинами. Узнаем, что называют генеральной совокупностью и выборкой. Выясним, какую выборку называют репрезентативной. Узнаем, что является модой, медианой и средним арифметическим. Поговорим о математическом ожидании.

Начнём с примеров. Возьмём девочек одного класса. Их можно сравнивать по возрасту, росту, весу. Российские монеты можно сравнивать по номиналу, весу, диаметру. Книги, стоящие на полке, можно сравнивать по высоте, цвету и количеству страниц. Получается, что однотипные объекты можно сравнивать по общим параметрам, которые присущи этим объектам. Каждый из названных параметров может принимать определённые числовые значения.

В статистике исследуют различные совокупности данных – числовых значений случайных величин с учётом частот, с которыми они встречаются в совокупности.

Совокупность всех данных называют генеральной совокупностью, а любую выбранную из неё часть – выборкой.

Выборку называют репрезентативной, если в ней присутствуют те и только те значения случайной величины, что и в генеральной совокупности, причём частоты имеющихся в ней данных находятся практически в тех же отношениях, что и в генеральной совокупности. Слово «репрезентативный» произошло от французского слова, которое переводится как «представительный».

Рассмотрим это на примере.

В данной таблице представлено распределение значений случайной величины X по частотам M. Совокупность всех значений этой величины принята за генеральную совокупность.

Тогда выборку из этой совокупности, распределение которой представлено в следующей таблице, следует считать репрезентативной, так как частоты имеющихся в ней данных находятся в тех же отношениях, что и в генеральной совокупности, и в выборке присутствуют те и только те значения случайной величины X, которые присутствуют в генеральной совокупности.

А теперь посмотрите на выборки, которые представлены в следующих двух таблицах.

Эти выборки не являются репрезентативными. А всё потому, что в первой таблице значения случайной величины отличаются от значений случайной величины в генеральной совокупности. Во второй таблице частоты имеющихся в ней данных очевидно находятся не в тех отношениях, что в генеральной совокупности.

Отметим, что совокупность данных иногда бывает полезно охарактеризовать одним числом, которое называют мерой центральной тенденции числовых значений её элементов. К таким характеристикам относятся мода, медиана и среднее. Поговорим про каждое из них.

Итак, мода – это значение случайной величины, имеющее наибольшую частоту в рассматриваемой выборке. Обозначается мода вот таким образом .

Например, мода выборки , , , , , , ,  равна , так как число  встречается в данной выборке чаще остальных значений ( раза). Теперь посмотрите на следующую выборку , , , , , , . В этой выборке число  встречается  раза и число  тоже встречается  раза. Остальные значения в этой выборке встречаются только  раз. Поэтому данная выборка имеет две моды: , .

Медиана – это число (значение случайной величины), разделяющее упорядоченную выборку на две равные по количеству данных части.

Обозначается медиана вот таким образом .

Важно обратить внимание, что если в упорядоченной выборке нечётное количество данных, то медиана равна серединному из них. Если в упорядоченной выборке чётное количество данных, то медиана равна среднему арифметическому двух серединных чисел.

Давайте найдём медиану выборки значений случайной величины: , , , , , , , , . В первую очередь мы должны расположить элементы выборки в порядке возрастания: , , , , , , , , . Обратите внимание, что количество данных равно , то есть нечётно. Слева и справа от числа  находятся по четыре элемента, то есть  – серединное число выборки, следовательно, .

Найдём медиану ещё одной выборки: , , , , , , , . Расположим её элементы в порядке возрастания: , , , , , , , . Количество данных равно , то есть чётно. Серединные данные выборки:  и . Поэтому .

Среднее (или среднее арифметическое) выборки – это число, равное отношению суммы всех чисел выборки к их количеству.

Если рассматривается совокупность значений случайной величины , то её среднее обозначают .

Давайте найдём среднее выборки значений случайной величины , распределение которых по частотам представлено в следующей таблице.

Одной из наиболее распространённых характеристик выборки значений случайной величины, чьё распределение по вероятностям известно, является математическое ожидание.

Пусть в следующей таблице задано распределение значений некоторой случайной величины  по вероятностям P.

Тогда число

называют математическим ожиданием (или средним значением) случайной величины икс.

Пусть случайная величина  – сумма чисел, выпавших при бросании двух игральных костей. На одном из предыдущих занятий мы с вами составили таблицу распределения значений этой случайной величины по их вероятностям. Сейчас мы можем найти её математическое ожидание, то есть .

Отметим, что математическое ожидание широко применяется в играх.

Например, предположим, что в некоторой игре с двумя игроками первый игрок может выиграть , , …,  рублей. Отметим, что среди этих чисел могут быть отрицательные (в случае проигрыша) и . Суммарный выигрыш двух игроков всегда равен . При этом вероятность того, что первый игрок выиграет  рублей, равна . Тогда средний выигрыш первого игрока будет равен .

Если получится, что  (то есть данная сумма равна ), то игра называется справедливой.

Если , то игра называется выгодной для первого игрока.

Если же , то игра называется невыгодной для первого игрока.

А сейчас мы с вами выполним задание. Найдите моду, медиану и среднее значение выборки:

1) , , , , , , , , , ;

2) , , , , , , , , , , .

Решение.