Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

Вспомним формулы сложения для синуса: , ; косинуса: , . Эти формулы мы будем использовать при доказательстве формул суммы и разности синусов и формул суммы и разности косинусов.

Итак, докажем, что .

Обозначим , . Тогда , а . Таким образом, можем записать,  [, ]

 [вернёмся к замене] . Формула  доказана.

Читается эта формула так: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

. Эта формула получается из формулы  заменой  на : . Выполним преобразования и получим: .

Читается эта формула так: разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.

Теперь докажем формулу суммы косинусов: .

Обозначим , . Тогда , а .

Поэтому  [, ]  [вернёмся к замене] . Таким образом, формула  доказана. Читается формула так: сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

И нам осталось рассмотреть формулу разности косинусов.

Она получается из формулы  заменой  на ? Нет. Формула разности косинусов доказывается так же, как формулы  и .

Докажем, что .

Обозначим , . Тогда , а .

Поэтому  [, ]

.

Вернёмся к замене и получим: .

Читается формула следующим образом: разность косинусов двух углов равна взятому со знаком «минус» удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.

Таким образом, мы с вами познакомились с формулами суммы и разности синусов и формулами суммы и разности косинусов.

Давайте вычислим . Для этого воспользуемся формулой . Имеем:

.

И преобразуем в произведение выражение:

.  [запишем  как ]  []

 [воспользуемся формулой ]

.

А сейчас рассмотрим следующие три формулы: , , . Это формулы преобразования произведений в сумму или разность.

Давайте с вами докажем, например, формулу . Для этого преобразуем правую часть равенства к левой:  [к выражению в скобках применим формулу  и формулу ]

.

Итак, мы привели правую часть равенства к левой, следовательно, доказали, что произведение синуса угла альфа и синуса угла бета равно полуразности косинуса разности этих углов и косинуса их суммы. Формулы  и  доказываются так же, как и формула .

А теперь закрепим новые знания на практике.

Задание первое. Представьте в виде произведения следующие выражения: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

Второе задание. Представьте в виде суммы или разности выражения: а) ; б) ; в) .

Решение.

И выполним ещё одно задание, в котором надо найти значения следующих выражений: а) ; б) .

Решение.