Формулы приведения

Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы, вспомним формулы сложения для синуса: , ; косинуса: , ; тангенса: , ; котангенса: , . Также вспомним, если угол  можно представить как , где  – целое число, то при повороте на угол  получаем ту же самую точку, что и при повороте на угол .

Вы, наверное, обращали внимание, что таблицы значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса обычно составляются для углов от  до  (или от  до ). Это означает, что вычисления их значений для остальных углов сводятся к вычислению значений для острых углов.

Давайте вычислим  и .

, а значит, при повороте точки  вокруг начала координат на  точка совершает три полных оборота и ещё поворот на  и оказывается в точке . Таким образом, получается та же самая точка, что и при повороте на угол . Тогда можем записать, что  и .

Теперь построим точку , симметричную точке  относительно оси .

, то есть . А так как по построению точки  и  симметричны относительно оси , то и .

Тогда ,  . Точки  и  симметричны относительно оси , а значит, их ординаты равны, а абсциссы противоположны по знаку. Можем записать, что , а .

При решении данной задачи мы выяснили, что ,   . Эти равенства являются верными, так как при повороте точки  на угол на угол ,  получается та же самая точка, что и при повороте на угол . Тогда справедливы следующие формулы: , ,   .

Также при решении задачи мы получили, что ,   . Эти равенства являются частными случаями формул: ,   . Давайте докажем эти формулы.

Итак, докажем формулу . Применим к левой части формулу :  [подставим значения  и ] . Формула доказана.

Докажем формулу .  Для этого применим к левой части формулу :  [подставим значения  и ] .

Доказанные формулы  называются формулами приведения. Вообще для синуса формулами приведения являются следующие формулы: , , , , ,   . Шесть следующих формул являются формулами приведения для косинуса: , , , , ,   . Отметим, что все эти формулы справедливы при любых значениях . И каждую из них легко можно доказать с помощью формул сложения для синуса и косинуса аналогично тому, как мы доказали формулы .

Давайте вычислим  и . В первом примере  [по первой формуле из формул ]  []   [] .

Вычислим .  [по второй формуле из формул ] .

А есть формулы приведения для тангенса и котангенса? Для тангенса и котангенса тоже есть формулы приведения, то есть вычисление тангенса и котангенса любого угла может быть сведено к вычислению тангенса и котангенса острого угла. Воспользовавшись определением тангенса и формулами , можем записать, что , . Теперь запишем  [воспользуемся формулами приведения: , ] . Следовательно, можем сделать вывод, что , .

Аналогичным образом можно доказать, что , .

Следующие формулы являются формулами приведения для тангенса: ,   ; котангенса: ,  . Эти формулы имеют место при всех допустимых значениях . Чтобы доказать эти формулы, достаточно воспользоваться формулами  и , то есть формулами приведения для синуса и косинуса. Так, например,  [, ] .

Таким же образом можно доказать каждую из формул  и .

Давайте вычислим  и . Итак,  [по формуле ] .

Теперь вычислим .  [по формуле ] .

Отметим, что запоминать формулы приведения совсем не обязательно. Чтобы записать любую из формул, можно применять следующие правила: 1) в правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии, что . 2) Если в левой части угол равен   или , то синус заменяется на косинус, косинус – на синус, тангенс – на котангенс, котангенс – на тангенс. Если угол равен , то замены не происходит. Эти правила облегчают запоминание формул, поэтому их называют мнемоническими правилами.

Так, например, воспользуемся этими правилами, чтобы записать формулу приведения для выражения . Если , то . Синус в третьей четверти принимает отрицательные значения. Тогда по первому правилу в правой части формулы нужно поставить знак «». В левой части угол равен , а значит, по второму правилу синус надо заменить на косинус. Следовательно, получаем, что .

Рассмотренные формулы , , , а также формулы приведения позволяют нам свести вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к вычислению их значений для острого угла.

А сейчас давайте выполним задание. Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.