Представление о десятичных дробях

– Да где же оно? Я же где-то его видел. О, нашёл!

– Паша, ты чего? Что ты нашёл? Ты читаешь правила дорожного движения? Зачем?

– Да вот понимаешь, Саша. Ехали мы сегодня по городу, и вдруг я увидел знак, на который раньше не обращал внимания.

Там была странная запись: четыре точка пять.

А я помню, что видел похожий дорожный знак в правилах дорожного движения. Вот я и ищу, хочу узнать, что он обозначает и что это за непонятная запись.

– И как, прочитал?

Да. И знаешь что. Этот знак показывает, что на данном участке дороге можно ехать только транспортным средствам, высота которых не превышает четырёх с половиной метра. Он бывает с точкой, а бывает с запятой.

– Подожди, Паша. Но четыре с половиной метра записывается смешанным числом . Причём здесь какие-то запятые и пятёрки?

– Ничего не понимаю.

– Я знаю, что нам точно может помочь Электроша. Пойдём к нему и всё разузнаем.

– Здравствуй, Электроша. У нас для тебя новая задачка.

– Здравствуйте, мальчики. Что на этот раз?

– Я увидел вот такой знак и прочитал, что он обозначает ограничение высоты, то есть транспортное средство должно быть в высоту не больше четырёх с половиной метра. Но четыре с половиной метра записывают вот так , а тут откуда-то появилась запятая и пятёрка. Электроша, ты знаешь, что откуда появилось и что это за запись?

– Да, Паша, знаю и с удовольствием вам расскажу. Но сначала выполните несколько устных заданий.

Для того, чтобы вам объяснить, что это за запись, надо сначала поговорить об обыкновенных дробях.

Вы, наверное, замечали, что вокруг нас очень много величин, которые отличаются друг от друга в 10, 100, 1000 и так далее раз. Например, в 1 сантиметре 10 миллиметров, в 1 дециметре – 10 сантиметров, или 100 миллиметров, и так далее.

– Ага, я понял – сказал Саша. Ещё, например, в 1 килограмме 1000 граммов, а в 1 центнере 100 килограммов, или 100 000 граммов.

– Да, Саша, – это тоже хороший пример.

Если записать дробями вот эти величины, то получатся дроби вида: , , ,  и так далее. Именно для дробей такого вида, то есть в знаменателе которых стоит 10, 100, 1000 и так далее, была придумана специальная форма записи.

Очень важно запомнить, что такая запись 0,1; 0,01; 0,001 используется только для дробей, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000 и так далее.

– Электроша, а как читать эти записи? Ноль запятая один?

– Нет, Паша. Читают эти записи так: «ноль целых одна десятая, ноль целых одна сотая, ноль целых одна тысячная».

Такую форму записи дробей называют десятичной, а дроби, записанные в таком виде, – десятичными дробями.

Обратите внимание, что у десятичных дробей, как и у смешанных чисел, есть целая и дробная части. Целая часть располагается слева от запятой, а дробная – справа.

Теперь давайте попробуем записать десятичной дробью вот такое число .

Смотрите, в записи десятичного числа запятой отделяется целая часть от дробной. Если перед нами правильная дробь, то у неё нет целой части, и поэтому перед запятой пишется ноль 0,27.

Вам стало понятно?

– Да, давай попробуем выполнить задание.

Запишите числа десятичными дробями . И прочитайте их.

Начинай ты, Паша.

– . Это правильная дробь, значит, целая часть равна 0. Ставим запятую. И пишем 15. 0,15. Читается так: ноль целых пятнадцать сотых. Правильно, Электроша?

– Да, Паша. Всё верно. Теперь Саша – твоя очередь.

Число . Целая часть равна 45, значит перед запятой будет стоять число 45. Ставим запятую и следом записываем 350. 45,350. Читаем так: сорок пять целых триста пятьдесят тысячных.

– Молодцы, ребята! Вы всё правильно сделали!

Давайте теперь попробуем перевести в десятичную дробь число .

Напишем 17 и поставим запятую. Как вы думаете, мальчики, как записать три сотых?

Здесь надо сформулировать правило: запись дробной части десятичной дроби содержит столько цифр, сколько нулей в записи знаменателя обыкновенной дроби.

Знаменатель дроби равен 100. Там 2 нуля, значит и после запятой в десятичной дроби тоже будет 2 цифры.

Теперь давайте посмотрим на числитель. Он состоит из одной цифры и равен 3. В таком случаем пишут 0 3.

– Электроша, а почему именно 0, 3, а не 3, 0?

Чтобы это объяснить, давайте вспомним разряды и классы числа.

Мы помним, что единица меньшего разряда в 10 раз меньше единицы соседнего разряда.

Продолжим нашу таблицу разрядов.

Для дробной части таблица разрядов выглядит так: десятые, сотые, тысячные, десятитысячные, стотысячные и так далее.

Почему для дробной части порядок не такой, как для целой, понять просто. Давайте сравним  и . Паша, ты помнишь, как сравнивать дроби с одинаковыми числителями?

– Да, Электроша, помню.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше.

– Правильно. Вот и получается, что . Именно поэтому разряды дробной части расположены в таком порядке.

Запомните ещё одно правило.

Когда мы читаем десятичную дробь, то сначала называем её целую часть, добавляем слово целых, а потом читаем дробную часть. В конце добавляем название разряда.

Например, эту дробь  мы прочитаем так: сто восемьдесят пять целых, пять тысяч семьдесят восемь десятитысячных.

Давайте попробуем выполнить одно задание.

Запишите в виде десятичной дроби число, в котором 5 единиц, 9 десятых.

7 десятков, 8 сотых.

Паша, начинай.

– Ну это несложно.

5 единиц 9 десятых записываются так 5,9.

А 7 десятков, 8 сотых надо записать так 70,08.

– Молодец! Ты всё правильно выполнил.

Но не только дроби и смешанные числа можно записывать десятичными дробями. Правило: если в задании нам надо натуральное число записать десятичной дробью, то мы записываем число, ставим запятую, а потом записываем нули. Столько, сколько требуется для задачи.

Например, число 145 можно записать десятичной дробью 145,0, или 145,00, и так далее.

– Вам всё понятно?

– Да, Электроша. Проверь нас заданием.

– Хорошо. Запишите числа десятичными дробями .

Начинай ты, Саша.

Первое число записывается так: 13,3.

Второе число надо записать так: 0,03.

Третье число – это неправильная дробь. Электроша, как в таком случае быть?

– Сначала надо перевести неправильную дробь в смешанное число, а потом это число записать десятичной дробью.

– Я всё понял. Переведём  в смешанное число. Получим . Запишем это число десятичной дробью.

– Молодец, Саша.

– Электроша, подожди. А на знаке, который я тебе показывал, было написано четыре точка пять. Это тоже десятичная дробь?

– Да, Паша. В некоторых книжках и задачах можно увидеть такие записи десятичных дробей.

– Ага, теперь понятно.

– Ну раз вам всё понятно, вот ещё одно задание.

Запишите в виде обыкновенной дроби или смешанного числа .

Это задание для тебя, Паша.

46,17. Запишем в виде смешанного числа .

0,017. Поскольку целая часть равна нулю, значит, запишем это число в виде обыкновенной дроби – .

– Молодец, Паша.

Вот вам ещё одно задание.

Выразите в дециметрах и запишите в виде десятичной дроби .

Саша, попробуй ты.

– Переведём 10 сантиметров и 5 миллиметров в дециметры. 10 сантиметров – это 1 дециметр, а 5 миллиметров – это  дециметра. Тогда можем записать десятичную дробь 1,05.

7 сантиметров – это  дециметра. Пишем так: 0,7.

587 миллиметров это  дециметра. Выделим целую часть, получим смешанное число . Запишем его десятичной дробью 5,87.