Сложение и вычитание смешанных чисел

– Привет, Саша. Ну как ты съездил в гости к бабушке?

– Ой, Паша. У меня получилось по дороге такое приключение! – протянул Саша.

Когда мы отъехали от дома 5 с четвертью километра, то нам навстречу из леса выскочил заяц.

А когда мы проехали ещё три целых и две четвёртых километра, то увидели, как из леса вышел… ЛОСЬ. Я так испугался, но лось быстро вернулся в свой лес.

– Ничего себе! Я бы, наверное, тоже испугался, – сказал Паша.

– А вот интересно, на каком расстоянии от твоего дома вы встретили лося?

Давай попробуем подсчитать.

– . Подожди, Паша, это же смешанные числа, а складывать мы вроде бы их ещё не складывали. Или я не прав?

– Да, Саш, такие задания мы ещё не решали. Но, если мы обратимся к Электроше, он нам всё объяснит.

– Пошли тогда к Электроше.

– Привет, Электроша.

Смотри, у нас появилась новая задачка, которую мы пока не можем решить. Может, ты нам поможешь?

– Здравствуйте, мальчики. Что у вас случилось?

– Да вот. Нам нужно сложить два смешанных числа: пять целых одну четвёртую и три целых две четвёртых. А как это сделать, мы не знаем.

Ты нам поможешь?

– Конечно, помогу. Но сначала давайте устно порешаем.

Прежде чем вернуться к вашему примеру, давайте вспомним сложение натуральных чисел. Помните ли вы свойства сложения?

– Да, я помню переместительное свойство сложения: от перемены мест слагаемых сумма не меняется, – начал отвечать Саша.

– А я помню, – перебил друга Паша, – сочетательное свойство сложения. Оно записывается так: .

Эти же свойства выполняются и для сложения смешанных чисел.

Давайте запишем смешанные числа и попробуем найти их сумму.

Представим наши числа в виде суммы натуральных чисел и обыкновенных дробей . Перегруппируем наши суммы  и получим суму . Запишем эту сумму смешанным числом и получим, что вы, Саша, встретили лося на расстоянии  километра.

– Подожди, Электроша, получается, что для того, чтобы сложить смешанные числа, надо сложить отдельно целые и дробные части? Так, что ли?

– Да, Паша, ты абсолютно прав.

Запомните правило:

Чтобы сложить два смешанных числа, надо отдельно сложить их целые и дробные части.

Чтобы проверить, как вы поняли это правило, выполните задание. Сложить смешанные числа: .

Начинай, Саша.

– Ну, это несложно.

Сложим отдельно . . Получим .

Второй пример. Складывая целые части, получим 9, сложим дробные части и получим . Подожди, Электроша, но дробь . Как быть в этом случае?

– Да, Саша, ты правильно заметил. В этом случае поступают так: к полученной сумме целых частей добавляют число, которое получилось. То есть в нашем случае сумма будет равна 10.

И последний пример. Сложим целые части – получится 11. Сложим дробные части – получим . Но это же неправильная дробь. Значит, число  – несмешанное. Получилось, что при сложении смешанных чисел мы можем получить и несмешанное число? Как такое может быть?

– Не переживай, Саша, – сказал Электроша. Сейчас мы с вами переведём неправильную дробь в смешанное число и сложим его с 11.

– Паша, ты помнишь, как перевести неправильную дробь в смешанное число?

– Да, Электроша, помню. Нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Неполное частное такого деления будет целой частью смешанного числа, а остаток – числителем дробной части. Знаменателем дробной части будет знаменатель неправильной дроби.

– Раз ты помнишь, переведи  в смешанное число.

. То есть .

Вот. Теперь в сумме заменим  смешанным числом. Получим, что исходная сумма равна .

– Вот видите. Вместе мы с вами решили все примеры.

Интересно, если складывать так просто, то может и вычитать смешанные числа тоже просто? – спросил у робота Паша.

Да, Паша, вычитать смешанные числа тоже несложно. Рассмотрим это на примере .

От 8 отнимем 4 – получится 4. А как отнимать дроби с одинаковыми знаменателями, мы знаем. Ты помнишь, Саша?

– Да, Электроша, помню. Из числителя уменьшаемой дроби надо вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.

Тогда получим, что исходная разность равна .

– Молодец, Саша.

Запомните правило: чтобы найти разность двух смешанных чисел, надо из целой и дробной частей уменьшаемого вычесть, соответственно, целую и дробную части вычитаемого.

Теперь выполните задание. Паша, это будет задание для тебя.

Вычислите: .

Итак, в первой разности от 5 отнимем 2, а от  отнимем . Тогда получим, что разность равна .

Во втором примере получим … подожди, у нас же получится . Как это записать, Электроша?

– Записывается это просто. . Значит, наша разность будет равна просто 1.

Решай последний пример.

– Получим 2 целых…, но как ? Ведь 2 меньше 5, значит, от 2 нельзя отнять 5. То есть вычитать смешанные числа можно только, если дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого?

– Нет, Паша. Разность таких чисел тоже можно найти. Но сначала нам надо подготовить уменьшаемое.

Выпишем его отдельно. Представим 3 в виде суммы 2 + 1. Теперь 1 представим в виде дроби со знаменателем 13. Получим . Сложим . Получим, что смешанное число  мы представили в виде суммы . Теперь от этой суммы надо отнять . Нетрудно подсчитать, что разность будет равна .

Ну что, мальчики, теперь вам понятно, как складываются и вычитаются смешанные числа?

– Да, Электроша. Нам всё понятно.

Тогда выполните ещё одно моё задание.

Выполните действия  .

Сложим отдельно целые и дробные части смешанных чисел . Получим, что первая сумма равна .

Для того, чтобы посчитать разность, отнимем 15 от 20 и  от . Получим смешанное число .

Для того, чтобы решить следующий пример, сложим  и . Получим . . Значит, получим 10 + 1 = 11.

При решении следующего примера получим , то есть просто 8.

Сложим 11 и 5 – получим 16. При сложении  и  получим неправильную дробь . Выделим целую часть. Получим . Тогда сумма будет равна .

И последний пример.

Сразу видим, что от  нельзя отнять . Возьмём от 11 единицу и представим её в виде дроби . Тогда наша разность будет равна .

Раз у вас всё так прекрасно получается, давайте решим одно задание посложнее. Паша, это задание для тебя.

Решите уравнение .

Перед нами разность с неизвестным вычитаемым.

Мы помним, для того, чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность. Получим, что разность  равна разности , то есть 1.

Перед нами опять разность, но теперь нам надо найти уменьшаемое. Для этого сложим вычитаемое и разность. Но в разности нет дробной части! Электроша, в таком случае надо просто сложить 5 целых и 1?

– Да, Паша. Именно так. Если нам надо сложить смешанное и натуральное числа, то мы просто складываем натуральное число с целой частью смешанного числа.

Получим, что .